Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Pengertian Barisan Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan U1, U2, U3, …, Un.
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U1) = 1, suku kedua (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.
Barisan Aritmatika
Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus
Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)
Un-Un-1 = b
Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah
Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.
Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1) b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. (1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… (2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah
Ut = 1/2 (U1+Un)
contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601
Sisipan dalam Barisan Aritmatika
Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan
b = [n-m]/[k+1]
Deret Aritmatika
Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U1, U2, U3, …. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah
Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)
karena a+(n-1)b = Un
Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)
Contoh soal
Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?
Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.
U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4 ⇔ b = 4
a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.
Itu tadi sedikit tentang barisan aritmatika berikut deretnya, semoga bermanfaat. 😀
febrian prayudi says
suku ke-5 dan suku ke 8 suatu barisan aritmetika berturut turut adalah 43 dan 64 . suku ke 32 dari barisan tsb adalah?
rumus hitung says
kak febrian silahkan dicoba dulu y pakai rumus di atas.. hehehehe
lailatul says
kak boleh nanya gak ?
suatu barisan aritmatika memiliki suku ke empat46 dan suku ke tujuh 61. suku ke sepuluh barisan tsb adalah ?
reksisandiyusuf09 says
Kaka mau tanya nih?, kalo yg di ketahui U2=8 ,U4=14 dan Un=23 , tentukan banyaknya suku barisan tersebutt!
Mohon di bantu ka ;’v
Risa Egatiana says
Sangat membantu terima Kasih banyak 🙂
Irfan f says
Guys tolong bantuin dong
Dari sebuah barisan aritmetika diketahui U2=9 dan U6=37. Suku ke-18 barisan tersebut adalah…
nisasyauqi says
Dik: barisan aritmetika 9,14,19,24,…,154
Banyak suku barisan tersebut adalah?
amrini says
jika diketahui suku pertama=2 dan suku ke-6 = 20. tentukan nilai pengganda,suku ke 10 dan jumlah suku ke 10.. mohon bantuannya ya,, makasih
budi arfan says
tolong dong. soal
suku ke2 dan suku ke5 dari suatu barisan aritmatika diketahui sama dengan 12 dan -9. maka nilai untuk suku ke10 adalah…
fefe says
kak.. kalau disuruh mencari :
deret hitung x yaitu a=180 , b=-10 , dengan
deret hitung y yaitu a=45 , b=5..
suku ke berapa dari kedua deret itu yg nilai nya sama kak..? :v makasii kak
Wiwin says
Tlong bantuin tugas dong?bserta caranya…ni soalnya Diket:2+4+6+…+U9,Tentukan:
A.Ut
B.S9
rumus hitung says
itu deret aritmatika dengan a = 2 dan b = 2 kak..
untuk mencari
A. Ut –> ini maksudnya U9 ya?
Kalau U9, kita cari dengan
U9 = a + 8b = 2 + 8(2) = 18
B. S9 tinggal dihitung dengan rumus
S9 = n/2 (a+Un)
= 9/2 (2+18)
= 9 (10) = 90
uto says
Ka kalo seprti ini gmna carilah suku ke 15 dari deret aritmatika 100,98,96,94..
rumus hitung says
ayo kak uto dicoba dulu ya pakai cara di atas,,,,
a = 100
b = -2
tina syon says
kak…jika soalnya suku pertama deret hitung M adalah 75 dan pembedanya adalah 10,sementara suku deret ke-6 hitung n adalah 145 dan pembedanya adalah 5.carilah n yang memberikan nilai yang sama bagi suku suku kedua deret tersebut
tya says
tolong bantuin kerjaiin tugas dong
a+(a+1)+(a+2)+…+(a+21)=247 nilai a=
rumus hitung says
suku pertama adalah = a
beda = 1
suku terakhir adalah = 247
a = a
b = 1
Sn = 247
Un = a + 21
kita pakai rumus Un pada deret aritmatika
Un = a + (n-1) b
a + 21 = a + n – 1
21 = n – 1
n = 22
Un = 1/2 n (a+Un)
247 = 1/2 22 (a+a+21)
247 = 11 (2a + 21)
247 = 22a + 231
22a = 247 – 231
22a = 16
11 a = 8
a = 8/11
maaf kak baru bisa bales..
finiya says
kk perbedaan barisan aritmatika dgn barisan geometri apa yah? trims
humairohnabila says
kak cara ngitung 1+2+3+4+5+…+26 itu gimana
rumus hitung says
itu sama dengan deret aritmatika dengan a = 1 dan b = 26 kak… silahkan dicoba dulu dengan rumus di atas.. kalau masih kesulitan nanti kita bantu lagi..
afwu says
cranya gmna kalo… 3+6+12+…+384
rumus hitung says
itu pakai barisan aritmatika bertingkat kak afwu. Silahkan dibaca materi berikut rumus dan contoh soalnya di sini
Galau Extreme says
Aku Ada Pertanyaan Nih 🙂
Tolong KerJakan
Lim (x-1) 1²-1²/X
Mohon Tipsnya ya >><<
rumus hitung says
Lim (x->1) 1²-1²/X = 1 – (1/1) = 0
menurut kami hasilnya 0 kak
Apriliana mukaromah says
Gimana cara mengubah barisan geometri ke barisan aritmatika?
rumus hitung says
wah kalau itu kami belum tahu kak.. :3 mohon maaf
Iqbal says
Kk minta bantuanya. Diket suatu deret aritmatika dengan suku ke 3=11 suku tengahnya =14 san suku terakhir=23,maka banyak suku dari deret tsb adlh….
Makasih kk
diyan says
Berapa nilai 5 pangkat 100 trimakasih
rumus hitung says
5100= 7.888.609.052.210.120.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
angga says
Kak, bisa bantu gak? Campuran aritmatika, persamaan kuadrat sama logaritma nih
alpha dan beta adalah akar akar dari persamaan kuadrat
X^2-(k-10)x+k=0
Jika log alpha, log alpha minusbeta, log beta membentuk suatu baris aritmatika, tentukan k
Mohon bantu kak
rumus hitung says
kak silahkan difoto kemudian di email ke rumushitung@gmail.com yaaa
ali akbar says
Jumlah enam suku pertama = 324, jumlah U7 sampai U16 adalah 220. Suku pertamanya berapa ya kak??
rumus hitung says
S6 = 324
6/2 (2a + 5b) = 324
3 (2a + 5b ) = 324
2a + 5b = 108 ….. (persamaan 1)
S16 = 320 + 220 = 544
16/2 (2a + 15b) = 544
2a + 15b = 68 …. (persamaan 2)
kita pakai eliminasi
2a + 5b = 108
2a + 15b = 68
-5b = 40
b = -8
2a + 5b = 108
2a -40 = 108
2a = 148
a = 74
nuel says
rumus mencari pengganda dalam deret hitung gimana ya…
misalnya suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768. berapa penggandanya ?
mohon bantuannya ya…
trmksih.
rumus hitung says
itu pakai deret geometri kak..
suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768
U4 = ar3
U9 = ar8
ar8 / ar3 = 768/24
r5 = 32
r = 2
Arief says
Mas kalo rumus untuk mencari Sn dengan bedanya itu 2x gimana ya?
Alvin adam says
mau tanya.. kan udah sering kalo soal yang ditanya yang penjumlahan misal, U2 + U3 = ? Tapi kalo perkalian gimana ya caranya,, mohon beri contoh soal dan penjelasannya
shi says
udah otak atik rumus,, tapi ga ktmu jga jwabannya… mohon bantuannya ya kaq…
1!+2!+3!+4!+5!+….+2006!
rumus hitung says
maaf kak shi itu yang ditanya jumlahnya atau angka satuannya saja ya?
chyntia kristina says
Kak ni ad soal ge yg buntu jq kak….
Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…
Dibantu y kak….
chyntia kristina says
klu bsa segera y kak… 🙂
Thankyou…
rumus hitung says
sudah kak… saya kasih petunjuknya tinggal dilanjutin sedikit… 😀
rumus hitung says
Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…
jumlah 5 suku pertama = 20
P1 = U1 -U3 = a – (a + 2b) = -2b
P2 = U2 – U3 = a+b – (a + 2b) = -b
P3 = U4 – U3 = a + 3b – (a+2b) = b
P5 = U5 – U3 = a + 4b – (a + 2b) = 2b
P1 x P2 x P3 x P4 = 324
(-2b) x (-b) x b x 2b = 324
4 b4 = 324
b4 = 81
b = 3
S5 = 5/2 (2a + 4.3)
20 = 5/2 (2a + 12)
20 = 5a + 30
5a = -10
a = -2
jadi barisan tersebut a = -2 b = 3
lima suku pertama -2, 1,4,7,10
silahkan dilanjut ya kak.. 😀
Faiz says
Mau tanya kx,Bagaimana rumus untuk mencari suku tengah jika suku pertama nya belum di ketahui ??
rumus hitung says
bisa disampaikan contoh soalnya kak.. biar lebih jelas.. 😀
maria says
kak bantu donk,,,carilah rasio,suku pertama(a),s7,jumlah 10 suku(D10)jika suku ke _4 dan suku ke_7dari deret ukur adalah 192 dan 12288
Lisda says
Kak, mohon bantuannya. Dik: Sn=880, a=25, b=2. Dit: n=?
rumus hitung says
itu deret apa ya kak… kalau beda dua dan suku pertama ganjil maka suku2 berikutnya bakal ganjil… 880 kan genap…
veronika says
kak mohon bantuannya..
suatu deret hitung, suku 1=3 dan suku terakhir=87. jika suku ke 6 dan suku ke 7 di jumlah=39, maka hitunglah jlh deret tersebut!!
gmna tu kaq?
rumus hitung says
a = U1 = 3
Un = 87
U6 = a + 5b
U7 = a + 6b
U6 + U7 = 2a + 11b
39 = 2.3 + 11.b
39 = 6 + 11b
11b = 33
b = 3
Un = 87
87 = 3 + (n-1)3
84 = (n-1)3
n-1 = 84/3
n-1 = 28
n = 29
Sn = n/2 (a+Un)
S29 = 29/2 (3+87)
S29 = 29/2 . 80
S29 = 1.160
muflikh says
terimakasih untuk postingannya kak. ngerjain tugas jadi lebih mudah.. 🙂
rumus hitung says
siap kak mufli… terima kasih sudah berkunjung.. 🙂
Eta says
Kk
Kalau ad soal
Di antara bil 3 dan 23 disisipkan 9 buah bilangan
Sehingga trbntuk deret aritmatika.
Jumlah smua bil yg terbentuk adlh??
Thanks
rumus hitung says
sekranga berarti akan ada 11 bilangan
jika ada 11 bilangan maka ada 10 beda yang sama
besarnya beda tiap suku = 23-3/10 = 2
jadi barisan aritmatika yang baru
a = 3
b = 2
n = 11
S11 = 11/2 (2.3+(11-1)2)
S11 = 11/2 (26)
S11 = 11 . 13 = 143
safrilman zai says
trimkasih ya mapelnya,
sungguh sangat membantu saya dalam mengerjakan tugas kelompok.
Adam Surya Putra says
minta tolong aku punya soal dan bingung cara jawabnya, mungkin bisa bantu saya.
dikeahui deret geometri jumlah sepuluh suku pertama adalah 3069. dan jumlah sembilan suku pertama adalah 1533. kemudian suku ke-n adalah 48. tentukan nilai a? mohon bantuannya. makasih
eka says
kalo soalnya ke gni
jmlh bilngn antra 5 dan 100 yg habis dibagi 7 dan tidak habis dibagi 4
rumus hitung says
bilangan antar 5 dan 100 yang habis dibagi 7
7, 14, 21, 28, ….. , 98
a = 7
b = 7
Un = 98
n = (98/7) = 14
rumusnya
Sn = n/2 (a + Un)
S15 = 14/2 (7+98)
S15 = 7. 105 = 735
bilangan yang tidak habis dibagi 7 dan 4
28, 56, 84
karena jumlah sukunya hanya sedikit kita bisa jumlah manual
= 28 + 56 + 84 = 168
Jadi jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan tidak habis dibagi 4 adalah
735-168 = 567
Ririn wahyu says
kak mau nanyak donk soal ini cra ngerjainnya gimna
jika a = 100 dan S1 = 160 berapa : n untuk Sn = 250
rumus hitung says
maaf kak.. itu S1 = 160 ya? bukannya kalau deret aritmatika S1 = U1 = a ya… mohon konfirmasinya…
dita says
kak mau tanya diket deret hitung bahwa suku pertma 4, suku ke-n 200 dan D (n-1)=4900.hitunglah berapa besarnya n, b, S25??
mohon bantuan nya kak..saya sudah coba cara diatas tapi tidak bisa
rumus hitung says
suku pertama = 4 = a
suku ke n = 200
suku ke n = a+ (n-1)b
200 = 4 + (n-1) b
196 = (n-1)b
Sn = Sn-1 + Un
Sn = 4900 + 200
Sn = 5100
padahal rumus Sn
Sn = 1/2 n (a+un)
5100 = 1/2 n 204
5100 = 102 n
n = 50
Un = a + (n-1)b
200 = 4 + (50-1)b
196 = 49b
b = 4
S25 = 1/2 (25) . (2a+(n-1)b)
S25 = 1/2 (25) . (8+(24.4))
S25 = 1/2 (25) . 104
S25 = 25 . 52 = 1300
talita says
barisan aritmetika 3,8,13
tentuka suku ke 10 dan rmus suku ke n barisan tersebut serta suku ke brpkah yang nilainya 198
mksh
rumus hitung says
itu memang diketahui cuma 3 suku ya kak.. atau itu barisan aritmatika bertingkat? kalau barisan aritmatika bertingkat bisa dicoba dengan rumus di artikel barisan aritmatika bertingkat
penx says
mau tanya a) jika u1 = 1 u2 =3 u3=6 u4=10 maka u10? . b) jika u1=1 u2=4 u3=9 maka u8? . terima kasih sebelumnya.
rumus hitung says
kak penx ayo dicoba dulu pakai cara yang di atas… ntr kalau ngga ketemu baru kita bantu..
merta says
kak saya tertarik dengan penjelasan deret tersebut.tp ga da cara yang lebih simpel n sederhana lg? kalo ada yang singkat z supaya ga keburu habis wkt nya menerjakan satu soal.. mksh
rumus hitung says
hehehe kak merta kalau sering dilatih pasti bisa cepet… 😀
bagus says
caranya yg lebih mudah gak ada?
bagus says
tidak ada cra yg mudah
vinsent says
kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n gimana kk?
rumus hitung says
kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n
gimana kk?
dalam deret matematik
Sn = n/2 [2a+(n-1)b] masih ingatkah kalau Un = a+(n-1) b jadi rumus
tersebut bisa dimodifikasi
Sn = n/2 (a+Un)
1000 = n/2 (a+420)
2000 = n (a+420)
n = 2000/ (a+420) …. persamaan 1
Un = a+(n-1) b
420 = a + (n-1)110
420 = a + 110n – 110
530 = a + 110n
a = 530 – 110n ….. persamaan 2
kita subtitusikan persamaan 2 ke persamaan 1
n = 2000/ (a+420)
n = 2000/ (530-110n+420)
n = 2000/ (950-110n)
n (950-110n) = 2000
950 n – 110 n2 = 2000 (ruas kiri kita pindah ke
kanan)
110 n2 – 950n + 2000 = 0 (persamaan kuadrat)
11n2 – 95n + 200 = 0
(11n-40 ) (n -5) = 0
n = 40/11 atau n = 5, jadi dipilih n = 5
a = 530 -110 n
a = 530 – 550 = -20
Boechary says
Terima kasih infox gan. 🙂
michelle says
wow! komplit gampang dimengerti! thx!