Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga

Monday, September 30th 2013. | rumus matematika
advertisement

Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga – Dear sobat hitung, kali ini rumushitung.com ingin sharing sekaligus ngingetin kembali aturan dan rumus trigonometri yang berlaku dalam segitiga (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas). Dalam beberapa soal trigonometri melibatkan berbagai hal terkait segitiga dan kita kadang bingung aturan trigonometri yang mana sih yang harus dipakai. Misalnya sobat ketemu soal seperti di bawah ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah, Coba sobat tentukan berapa luas segitiga tersebut?

soal 1

hayoo pakai aturan trigonometri segitiga yang mana? Mau pakai rumus luas segitiga yang biasa tidak bakal ketemu, adanya sobat malah bingung. Okey untuuk mengingatkan sobat kembali berikut rangkuman tentang aturan trigonometri dalam segitga.

1. Aturan Sinus dalam Segitiga

 aturan sinus cosinus dan luas segitiga

Pada segitiga di atas berlaku

aturan sinus dalam segitiga

loh, darimana asalnya aturan sinus tersebut? mari kita cari tahu pembuktiannya berikut
pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan baca pembuktian rumus luas segitiga di bagian akhir postingan ini terlebih dahulu. Menurut aturan luas segitiga di dapat
L = ½ bc. sin α … (1)
L = ½ ac. sin β … (2)
L = ½ ab. sin γ … (3)

Persamaan (1) dan (2)
L = L
½ bc. sin α = ½ ac. sin β (coret yang sama)
b sin α = a sin β
b/sin β = a/sin α

Persamaan (1) dan (3)
L = L
½ bc. sin α = ½ ab. sin γ
c. sin α = a sin γ
c/sin γ = a/sin α
nah terbukti kan aturan sinus segitiganya.

contoh soal
Misalkan pada segitiga ABC, ∠ A =30o, BC = 6 dan AC = 10, tentukan berapa besar ∠B

jawab :
BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44o

2. Atuan Cosinus dalam Segitiga

Pasa sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus

 aturan sinus cosinus dan luas segitiga

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 =  a2 + b2 – 2ab cos γ

Pembuktian aturan cosinus

Darimana dapatnya aturan cosinus di atas? Jawabannya adalah

pembuktian aturan cosinus

c2 = (a sin γ)2 + (b-a cos γ)2
c2 = a2 sin2 γ + b2- 2ab cos γ + a2 cos2 γ
c2 = a2 sin2 γ + a2 cos2 γ + b2- 2ab cos γ
c2 = a2 (sin2 γ + cos2 γ) + b2- 2ab cos γ (ingat sobat sin2 a + cos2 a = 1)
c2 = a2+ b2- 2ab cos γ… (terbukti)

contoh soal
soal trigonometri segitiga 2
perhatikan gambar di samaping. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Jawab:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180o – (75o+45o) = 60o.
PQ2 = OQ2 + OP2 – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ2 = 32 + 52 – 2.3.5 cos 60o c
PQ2 = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ2 = 9 + 25 -15
PQ2 = 19
PQ = √19 = 4,36

3. Aturan Trigonometri Luas Segitiga

Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitiga menggunakan aturan trigonometri.
Jika sobat punya sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini

aturan sinus cosinus dan luas segitiga
maka berlaku aturan

Luas Segitiga ABC
= ½ bc. sin α
= ½ ac. sin β
= ½ ab. sin γ

 Eh..eh.. dari mana dapetnya rumus tersebut? The proof is..
pembuktian rumus ini sangat mudah jika sobat punya sebuah segitiga sembarang seperti ini

pembuktian aturan trigonometri untuk luas segitiga

perhatikan segitiga di atas, rumus luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi. Kita ganti nilai tinggi dengan c sin α atau a sin γ maka didapat
L = ½ b. c. sin α atau
L = ½ b. a. sin γ
Gampang kan sebenarnya. Hehehe

contoh soal
Jika sobat rumushitung  berikan selembar karton warna ungu dengan bentuk segitiga  seperti gambar berikut

contoh soal

coba sobat tentukan luas  segitiga tersebut
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

Ayo sobat hitung, buat melatih pemahaman kita tentang aturan trigonometri (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas) segitiga boleh dicoba latihan soal berikut:

1. Perhatikan gambar segitiga di bawah ini lalu tentukan perbandingan antara PQ dan PR
latihan soal trigonometri
a. 4 : 3                    b. 3 : 4
c. √3 : √2               d. √2 : √3

2. Luas dari segitiga di bawah ini adalah?
latihan soal2

a. 12 cm2               b. 12√3 cm2
c. 12 √2 cm2          d. 14 cm2

3. Pada gambar di samping tentukan nilai dari x
latihan soal 3
a. 2√3                    b. 2√10
c. 2√7                    d. 2√5

Okey sobat silahkan dicoba soal mengenai aturan sinus, cosinus, dan luas segitiga. Semoga bermanfaat.

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga