Pembukitan Asal Rumus Luas Lingkaran

Thursday, November 20th 2014. | rumus matematika

Suatu percakapan di kelas matematika SMP

Pak Guru : Anak-anak ada yang tahun apa rumus luas lingkaran?
Semua Murid : Tahu Pak Guru
Pak Guru : Apa rumusnya?
Semua Murid :  Rumusnya phi r2
Budi : Ijin bertanya Pak Guru, dari mana asalnya rumus luas lingkaran r2
Pak Guru : #%#%#@^##($…. (bingun jelasin)

Setelah melihat percakapan di atas, adakan dari sobat yang tahu darimana asala rumus luas lingkaran. Bagaimana pembuktiannya? Berikut kami dari tim rumushitung akan mencoba menjelaskannya. Luas sebuah lingkaran dapat dihitung dengan mengalikan tetapan Π (phi) dengan kuadara jari-jarinya (r2). Kali ini kita akan membuktikannya dengan menggunakan dua pendekatan yaitu memakai geometris dan menggunakan integral dari kurva.

1. Pendekatan Geometris

Untuk membuktikan rumus luas lingkaran coba sobat perhatikan ilustrasi berikut

ilustrasi 3

Jika kita perhtikan dari ilustrasi di atas maka semakin banyak sisi dari sebuah segi beraturan maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Sekarang jika kita terus menambah jumlah sisi dari segi banyak beraturan maka area kosong akan semakin mengecil (warna merah) dan semakin mendekati bentuk lingkaran. Selanjutnya perhatikan cara berpikir berikut

segi 8 beraturan

Dari segi 8 beraturan di atas, Luas dari daerah segitiga AOB adalah 1/2 x alas x tinggi = 1/2 x panjang sisi x jari-jari.
Karena dari segi 8 tersebut ada 8 buah segitiga serupa jadi luas segi 8 total adalah = 1/2 r x 8s
Perhatikan bahwa 8s itu mewakili panjang sisi dari segi delapan tersebut.

Kembali ke atas, tadi sudah disebutkan bahwa semakin banyak sisi dari segi-n beraturan maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jadi panjang sisi segi-n beraturan akan mendektai panjang sisi lingkaran (keliling lingkaran). Jadi kita bisa menggatikan 8s dengan 2 Π r

Luas Segi 8 = 1/2 r x 8s
Luas Lingkaran = 1/2 r x 2 Π r
Luas Lingkaran = Π r2

Itulah pembuktian sederhana dari rumus luas lingkaran. Jika sobat bertanya-tanya terus darimana datangnya rumus keliling 2 Π r? Nanti akan kita jawab di postingan berikutnya.

2. Metode Integral

Dengan menggunakan metode ini kita melihat lingkaran sebagai kumpulan titik pada koordinat kartesius. Kita telah belajar persamaan lingkaran adalah r2 = x2 + y2. Dengan menganggap lingkaran berpusa di titik (0,0) dengan titik potong di sumbu x dan y adalah r maka kita bisa menghitung luas 1/4 lingkaran dengan menggunakan integral tentau dari persamaan lingkaran mulai untuk bata x masing-masing 0 sampai r. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

luas lingkaran dengan integral tentu

Persamaan
r2 = x2 + y2 kita ubah menjadi
y2 = r2 – x2
y  = √(r2 – x2 )

 	Luas=4 ∫_0^r▒〖√(r^2-x^2 ) dx〗            =  4 ∫_0^r▒〖√(r^2-(rsinθ)^2 )  dx〗             =  4 ∫_0^r▒〖√(r^2-r^2 〖sin〗^2 θ))  dx〗             =  4 ∫_0^r▒〖√(r^2 (1-〖sin〗^2 θ) )  dx〗             =  4 ∫_0^r▒〖r.cos⁡θ dx〗

Perhatikan sekali lagi gambar di atas, nilai dari sin θ = x/r sehingga
x = r sin θ (ingat turunan trigonometri sin adalah cos)
dx = r cos θ dθ

Sehingga

pembuktian rumus luas lingkaran 2
Langkah berikutnya adalah kita substitusikan

lanjutan 3

sehingga didapat

=  2r^2  (θ+ sin⁡〖θ cosθ) |_0^r 〗 =  2r^2  [〖sin〗^(-1) (x/r)+ x/r  .(r^2-x^2)/r  |_0^r ] =  2r^2  [(〖sin〗^(-1) (r/r)+ r/r  .(r^2-r^2)/r)-(〖sin〗^(-1) (0/r)+ 0/r  .(r^2-0^2)/r)  ] =  2r^2  [(〖sin〗^(-1) 1+ 0)-(〖sin〗^(-1) 0+ 0)  ]        →ingat (〖sin〗^(-1) 1=90°=π/2) =  2r^2  [(π/2)+0-(0+ 0)  ] = πr^2

Itulah 2 dari banyak cara yang bisa sobat gunakan untuk membuktikan rumus luas lingkaran. Jika ada yang kurang jelas atau mungkin sobat punya metode pembuktian lain, jangan sungkan-sungkan untuk menuliskannya di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.







Yuk Bagikan
tags: ,

One Response to “Pembukitan Asal Rumus Luas Lingkaran”

  1. Ridwan says:

    normalnya, garis pada gambar segitiga di dalam lingkaran adalah garis y (karena sejajar dengan sumbu y), lalu mengapa dinotasikan dengan x

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Pembukitan Asal Rumus Luas Lingkaran