RumusHitung.Com

Setelah kemarin saya posting tabel logaritma, kali ini saya posting sifat logaritma. Sifat logaritma saya rangkum dalam 9 sifat logaritma sebagai berikut :

Sifat Logaritma 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

^alog a = 1
^alog 1 = 0
log 10 = 1

Pembuktian :

• semua bilangan berpangkat 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri a¹ = a ⇔ ^alog a = 1
• setiap bilangan bukan nol yang dipangkatkan 0 (nol) hasilnya pasti 1 a⁰ = 1⇔ ^alog 1 = 0
• Log 10 sebenarnya adalah ¹⁰log 10, bilangan basis 10 tidak perlu ditulis, misalnya log 1000 =  ¹⁰log 1000 = 3

Sifat Logaritma 2
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x + ^alog y = ^alog xy

Pembuktian sifat :
^alog x = n ⇔aⁿ = x
^alog y = m ⇔a^m = y
^alog xy = u ⇔a^u = xy
dengan mengingat kembali aturan perkalian pangkat
xy = aⁿ x a^m ⇔ xy = a^n+m
a^u = a^n+m⇔ xy = n + m

Sifat Logaritma 3
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a,x, dan y ∈ R, berlaku:

^alog x – ^alog y = ^alog x/y

Pembuktian sifat :
^alog x = n ⇔aⁿ = x
^alog y = m ⇔a^m = y
^alog x/y = u ⇔a^u = x/y
subtitusi nilai x dan y dengan 2 persamaan awal
a^u = aⁿ/a^m = a^{m-n
u = m-n}

Sifat Loaritma 4
Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R maka berlaku:

^alog xⁿ  = n ^alog x

Pembuktian Sifat:
^alog xⁿ = ^alog (x.x.x…x) x sebanyak n kali, dengan mengingat sifat logaritma pertama tadi maka
^alog xⁿ = ^alog x + ^alog x + ^alog x + …+^alog x (^alog x sebanyak n kali)
^alog xⁿ = n ^alog x

Sifat Logaritma 5
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

^{a^m} log xⁿ = n/m log x

Pembuktian Sifat:
^alog x = p ⇔ a^p  = x
^{a^m} log xⁿ = q ⇔ a ^m.q = xⁿ (sifat umum)
nah dari bentuk tersebut dapat kita peroleh
xⁿ = a ^m.q ⇔(a^p)ⁿ = a^mq (ganti x dengan nilai a^p)
⇔a^pn = a^mq ⇔ pn = mq ⇔ q = n/m p
jadi ^{a^m} log xⁿ = n/m log x

Sifa Logarima 6
Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, maka berlaku:

^alog x = ^plog x/ ^plog a = 1/^xlog a

Sifat Logaritma 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x . ^xlog b = ^alog b

Sifat Logaritma 8
Untuk a > 0, serta  a dan x ∈ R, berlaku:

Sifat Logaritma 9
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

Okey sobat itu tadi 9 sifat logaritma. Belum semua sifat sempet saya cari pembuktiannya. Hehehe… tetep semangat belajar.