Logika Matematika (SMA) dan Operasinya
Buat sobat hitung yang duduk di Sekolah menengah Atas, berikut ini rumushitung buatkan rangkuman singkat mengenai materi logika matematika. Rangkuman ini terdiri dari pokok-pokok yang dipelajari serta rumus logika matematika. Semoga bermanfaat.
Apa itu Logika Matematika?
Pengertian logika matematika ialah cabang ilmu matematika yang mengandung kajian matematis tentaang logika dan apa penerapan dari logika matematika ini di bidang lain selain matematika sendiri.
(Kalimat) Pernyataan
Dalam logika matematika dikenal dua jenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Kalimat tertutup merupakan suatu pernyataan dan kalimat terbuka belum bisa dikatakan sebagai suatu pernyataan. Cara membedakannya keduanya sangat mudah. Yang dinamakan pernyataan hanya mengandung nilai benar atau salah saja, tidak bisa kedua-duanya. Jika tidak memenuhi hal itu dinamakan kalimat terbuka. Masih bingung? Mari Simak contoh berikut
“Manusia punya sepasang mata”
Kalimat tersebut merupakan suatu pernyataan karena hanyapunya satu nilai, yaitu nilai benar.
“Jika x bilangan x2-4x+4 = 0”
Bukan merupakan suatu pernyataan jika kita ambil x = 2 atau x =-2 maka pernyataan akan benar dan jika kita ambil nilai x selain itu makan nilainya salah.
Pernyataan Berkuantor
Dalam logika matematika ada pernyataan yang melibatkan banyak objek yang terlibat dalam pernyataan tersebut. Pernyataan ini disebut pernyataan berkuantor. Terdapat 2 jenis pernyataan berkuantor
- Kuantor universal yaitu yang menggunakan kata semuat atau untuk setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan simbol “∀”
- Kuantor eksistensial, yaitu kuantor yang menggunakan kata ada atau berapa dan dilambangkan dengan simbol “∃”
Operasi Pada Logika Matematika
ada beberapa operasi dalam logika matematika sebagai berikut
Negasi atau Ingkaran
Negasi dari suatu pernyataan didefinisikan, negasi dari pernyataan “p” ditulis “ya”, mempunyai arti “tidak p” atau “bukan p”
Tabel Kebenaran dari Negasi Logika matematika
| p | ∼p |
| BS | SB |
sifat -(-p) =p
Negasi untuk penyataan berkuantor
∼[∃x; p(x)] = ∀ x; ∼p(x)
Disjungsi (Atau)
Dari pernyataan “p” dengan “q” dapat dibetuk pernyataan majemuk “p” “q” (ditulis “p v q”). Dalam disjungsi jika salah satu bernilai salah makan hasilnya akan bernilai salah. Tabel kebenarannya sebagai berikut
| p | q | p v q |
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Konjungsi (Dan)
Bentuk pernyataan “p” dan “q” yang bisa ditulis “p ∧ q” akan bernilai salah jika salah satu komponennya bernilai salah dan bernilai benar jika semua komponennya bernilai benar
Tabel Kebenaran Konjungsi Logika Matematika
| p | q | p ∧ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Implikasi (Jika.. maka..)
Dari pernhyataan “p” dan “q” dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk yang berbunyi “jika p maka q” bisa ditulis “p ⇒ q”. Komponen p disebut hipotesa (antensenden) sedangakan komponen “q” disebut konklusi atau konsekuensi. Implikasi akan salah jika hipotesa benar dan konklusi bernilai salah
Tabel kebenaran Implikasi
| p | q | p ⇒ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Biimplikasi atau Ekivalensi (Jika dan Hanya Jika)
Jika sobat punya pernyataan “p” dan “q” maka dapat dibuat pernyataan majemuk yang berbunya “p jika dan hanya jika q” bisa ditulis “p ⇔ q”
Biimplikasi akan bernilai benar jika kebenaran dari komponennya sama. Bisa sama-sama bernilai benar atau sama-sama bernilai salaha. Berikut tabel kebenaran ekivalensi dalam logika matematika
| p | q | p ⇔ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Sebuah ekivalensi atau biimplikasi juga disebut pernyataan dua arah, yang berarti p bertinda sebagai hipotesa, q merpakan konklusinya. Dan berlaku pula sebaliknya, jika q adalah hipotesa maka p merupakan konklusinya.
Negasi dari Penyataan Majemuk
Tabel negasi pernyataan majemuk logika matematika
| p | q | ∼p | ∼q | p∨q | p∧q | ∼(p∨q) | ∼(p∧q) | ∼p∧∼q | ∼p∨∼q |
| B | B | S | S | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | B | S | S | B | S | B |
| S | B | B | S | B | S | S | B | S | B |
| S | S | B | B | S | S | B | B | B | B |
dari tabel kebenaran logika matematika di atas terlihat bahwan
∼(p∨q) = ∼p∧∼q = SSSB
∼(p∧q) = ∼p∨∼q = SBBB
dengan demikian dari tabel kebenaran di atas di dapat dalil morgan
∼(p∨q) = ∼p∧∼q
∼(p∧q) = ∼p∨∼q
Selain di dapat dalil morgan, di dapat juga rumus
∼(p⇒q) = p ∪∼q
Konvers, Inves dan Kontraposisi dalam Logika Matematika
dari pernyataan “p maka q” (p⇒q) dapat dibentyuk pernyataan sebagai berikut
“∼p⇒∼q ” disebut sebagai invers dari implikasi
“q ⇒ p” disebut konvers dari implikasi
“∼q ⇒ ∼p” disebut kotraposisi
Tautologi dan Kontradiksi
Yang dimaksud istilah tautologi dalam logika matematika adalah pernyataan mejemuk yang selalu bnar, tanpa harus melihat kegbenaran dari komponen-komponennya. Contoh “Jika x bilangan genap, maka kuadrat x adalah bilangan genap”. Sedangkan yang dimaksud dengan kotradiksi adalah pernyataan mejemuk yang selalu salahh tampa melihat kebenaran komponen-komponennya.
Pengambilan Keputusan
Berikut beberapa cara dalam pengambilan keputusan pada logika matematika
1. Prinsip Inverensi
Misal diberi pernyataan
p ⇒ q …………..(B)
p ………………..(S)
——————————
q …………………(B)
Misal diberikan pernyataan
p ⇒ q…………….(B)
∼q ……………….(S)
——————————
∼p ………………(B)
2. Prinsip Silogisme
q ⇒ r …………..(B)
——————————-
p ⇒ r …………..(B)
Itulah tadi sobat rangkuman tentang logika matematika dan operasinya. Semoga bermanfaat buat belajarnya. 😀