Kali ini rumushitung ingin menyajikan sedikit mengenai materi persamaan lingkaran SMA Kelas XI. Buat sobat yang masih belum paham mengenai persamaan lingkaran semoga rangkuman ini bisa membantu.
Apa itu lingkaran? Apa Persamaan Lingkaran?
Lingkaran adalah bangun datar (dua dimensi) yang tersusun dari himpunan titik-titik yang punya jarak yang sama terhadap satu titik tertentu yang kemudian disebut pusat lingkaran. Dan jarak yang sama dari himpunan titik ke pusat atau sebaliknya disebut dengan jari-jari. Sedangkan yang disebut persamaan lingkaran adalah persamaan yang membentuk fungsi yang memetakan x ke y hingga membentuk grafik berbentuk lingkaran.
Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0,0)
Perhatikan sobat, jika titik A (XA,YA) terletak pada sebuah lingkaran dengan pusat (0,0). Otomatis jari-jari lingkarannya adalah OA. Maka dengan menggunakan aturan pythagoras kita bisa menggunakan rumus berikut:
r2 = (XA-0)2+(YA-0)2
r2 = XA2+YA2
Jadi Persamaan Lingkaran dengan pusat (0,0) adalah
x2+y2= r2
Buat lebih memahamkan sobat terkait persamaan lingkaran di atas berikut contoh soalnya. Jika ada sebuah lingkaran pusatnya (0,0) dan melalui titik (-6,8) maka tentukan persamaan dari lingkaran tersebut?
Jawab :
r2 = x2+y2
r2 = (-6)2+82
r2 = 36+64
r2 = 100 maka r = akar 100 = 10
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah x2+y2= 100
Persamaan Lingkaran yang Berpusat di Titik A (a,b)
Jika ada sebuah lingkaran dengan pusat A (a,b) dan ada sebuah titik sebut saja B (x,y) terletak pada lingkaran tersebut, maka besarnya jari-jari dari lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan
r = jarak A ke B
r2= (jarak A ke B)2
r2= (xB-xA)2 + (yB-yA)2
r2= (x-a)2 + (y-b)2
Jadi Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (a,b) dengan jari-jari r adalah d
(x-a)2 + (y-b)2= r2
Contoh Soal, Coba sobat hitung tentukan persamaan sebuah lingkaran yang pusatnya (5,4) dan menyinggung sumbu y.
Jawabannya sangat mudah, Jika sebuah lingkaran menyinggung sumbu y maka jari-jarinya adalah senilai x. jadi dari soal tersebut telah ketemu nilai r = 5. Untuk persamaanya tinggal kita masukkan ke
(x-5)2 + (y-4)2 = 52
x2-10x+25+y2-8y+16 = 25
x2+y2-10x-8y = 25-16
x2+y2-10x-8y = 9
Tadi kita telah belajar bagaimana menentukan persamaan sebuah lingkaran dengan diketahui pusat dan juga salah satu titiknya. Sekarang kalau ditanya sebaliknya, berapa pusat dan jari-jari lingkaran jika diketahui persamaannya? Itu ngga sulit, berikut caranya
kita perhatikan persamaan lingkaran berpusat di (a,b)
(x-a)2+ (y-b)2= r2 (dijabarkan)
x2-2ax+a2+y2-2by+b2= r2
x2+y2-2ax-2by+a2+b2= r2
x2+y2-2ax-2by+a2+b2–r2= 0
Jika a2+b2–r2 = c maka
x2+y2-2ax-2by+c= 0
dari persamaan di atas bisa didapat
- untuk mencari titik pusat kita hanya perlu mengalikan nilai x dan y dari persamaan dengan -1/2 untuk mendapatkan titik pusat lingkaran (x,y) dengan syarat persamaan harus terlebih dahulu ada dalam bentuk x2+y2-2ax-2by+c= 0
- untuk mencari jari-jari dapat didapat dari persamaan
a2+b2–r2 = c
r2 = a2+b2– c
maka r = akar dari [a2+b2– c]
Contoh Soal Persamaan Lingkaran
Coba sobat tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari dari persamaan lingkaran 3x2+3y2+30x+72 = 0
Jawaban
dari persamaan 3x2+3y2+30x+72 = 0 harus kita buat dalam bentuk persamaan lingkaran x2+y2-2ax-2by+c= 0 yaitu dengan membagi ruas kanan dan kiri persamaan lingkaran dengan angka 3
3x2+3y2+30x+72 = 0 (masing-masing ruas dibagi 3)
x2+y2+10x+24 = 0
:: Koordinat titik pusatnya (a,b)
a = -1/2 x 10 = -5
b = -1/2 x 0 = 0 (karena dalam persamaan tidak ada nilai y, maka y bernilai 0)
jadi koordinat titik pusatnya (-5,0)
:: Panjang Jari-jari Lingkaran
r = √ [a2+b2– c]
r = √(-5)2+02-24
r = √25-24 = √1 = 1 jadi besarnya jari-jari adalah 1
Sebenarnya masih banyak soal-soal yang susah mengenai persamaan lingkaran, tapi asal sobat memegang dasar yang telah dijelaskan di atas insyaAlloh ngga bakal kesesat ngerjainnya.
Okey sekian dulu persamaan lingakran nya, lain kesempatan kita bahas lagi mengenai persamaan garis singgung lingkaran dan macam posisi garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat.