Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran– Sebelumnya kita telah belajar mengenai persamaan lingkaran, kali ini rumushitung ingin share lanjutan materi tentang lingkaran yaitu hubungan titik dan garis terhadap lingkaran. Hubungan titik dengan lingkaran ada tiga jenis yaitu berada di dalam lingkaran, tepat pada lingkaran, dan berada di luar lingkaran. Hubungan ini sejalan dengan hubungan garis dengan lingkaran.
Hubungan Titik dengan Lingkaran
1. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (0,0)
Jika sobat punya sebuah titik dengan nama P (x1,y1) maka kemungkinan posisinya terhadap lingkaran
x2 + y2 = r2 maka
| Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran | Berlaku Jika |
| Di dalam lingkaran | x12+y12 < r2 |
| Terletak di Lingkaran | x12+y12 < r2 |
| Di Luar Lingkaran | x12+y12 < r2 |
Berikut contoh soalnya
Coba tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran dengan persamaan x2 + y2 =41
- titik A (3,4)
- titik B (4,5)
- titik C (5,6)
Jawaban
caranya adalah dengan memasukkan nilai x dan y dari titik-titik di atas ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 kemudian sobat bandingkan hasilnya dengan nili r2
Titik A (3,4) –> 32+42 = 9+16 = 25 –> 25 < 41 —> di dalam lingkaran
Titik B (4,5) –> 42+52 = 16+15 = 41 –> 41= 41 —> terletak di lingkaran lingkaran
Titik A (5,6) –> 52+62 = 25+36 = 61 –> 61 > 42 —> di luar lingkaran
2. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (a,b) [bukan berpusat di (0,0)]
Misal ada sebuah titik P P (x1,y1) maka kemungkinan posisinya terhadap lingkaran dengan persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 maka hubungan antara garis dengan lingkaran tersebut bisa
| Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran dengan pusat (a,b) |
Berlaku Jika |
| Di dalam lingkaran | (x-a)2 + (y-b)2 = r2 |
| Terletak di Lingkaran | (x-a)2 + (y-b)2 = r2 |
| Di Luar Lingkaran | (x-a)2 + (y-b)2 = r2 |
Contoh soal
Tentukan berada di dalam, tepat, atau di luar lingkaran x2+y2-4x+6y = 0 titik-titik berikut: titik M (1,3), titik N (2,7)
Jawaban Pembahasan
Sama, caranya sangat mudah, sobat tinggal memasukkan nilai x dan y dari titik-titik yang ditanyakan posisinya ke dalam persamaan lingkaran dan membandingkannya dengan nilai r2
titik M (1,3) –> 12+32-4(1)+6.3 =1+9-4+18 = 24 –> 24 > 0 [di luar lingkaran]
titik N (2,7) –> 22+72-4(2)+6.7 = 4+49-8+42 = 97 –> 97>0 [di luar lingkaran]
Hubungan Garis Lurus dengan Lingkaran
Untuk menentukan hubungan sebuah garis lurus y = mx + n dengan lingkaran cara paling mudah adalah mensubtitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan lingkaran hingga menjadi persamaan dengan hanya ada satu variable (x) (persamaan kuadrat) kemudian kita tentukan nilai D (determinan) dari persamaan hasil subtitusi tersebut.
Contoh Soal
Sebuah garis lurus punya persamaan y = x+1, tentukan posisi garis tersebut terhadap lingkaran x2+y2 = 25!
Jawab
:: substitusikan y = x+1 ke x2+y2 = 25
x2+y2 = 25
x2+(x+1)2 = 25
x2+x2+2x+1 = 25
2x2+2x-24 = 0
x2+x-12 = 0 [bentuk sederhana]
:: Tentukan Nilai Determinan (D)
D = b2-4ac
D = 1-4.1(-12) = 1 + 48 = 49 –> D > 0, maka memotong lingkaran di dua titik. Pertanyaannya jika hubungan garis terhadap lingkaran adalah memotongnya di dua titik, dimana saja titik potong garis dengan lingkaran tersebut?
x2+x-12 = 0
(x+4) (x-3) = 0
x+4 = 0 atau x-3 = 0
x = -4 atau x = 3 –> masukkan ke persamaan garis atau lingkaran (silahkan pilih)
x = -4 –> y = x+1 –> y = -4+1 = -3 maka titiknya (-4,-3)
x = 3 –> y = x+1 –> y = 3+1 = 4 maka titiknya (3,4)
D = 122+320 =442 –> D > 0 maka garis tersebut memotong lingkarn di dua titik