Perkalian Vektor – Kemarin kita telah belajar tentang penjumlahan dan pengurangan vektor. Yuk kita beranjak ke perkalian vektor. Besaran vektor bisa dikalikan dengan besaran vektor maupun besaran skalar. Ada 3 macam perkalian vektor. Berikut ulasan lengkapnya.
1. Perkalian Skalar dengan Vektor
Skalar bisa dikalikan dengan sebuah vektor. Misal sobat punya nih vektor B yang merupakan hasil perkalian dari skalar k dengan vektor A maka
B = kA
k adalah bilangan (skalar). Jadi vektor B adalah vektor yang besarnya 4 kali vektor A dan arahnya searah dengan vektor A.
Perkalian skalar dengan vektor punya sifat distributif
k (A+B) = k A + kB
Ini juga berlaku untuk untuk bentuk vektor komponen 2 dimensi atau tiga dimensi.
r = xi + yj
kr = kx i + ky j
2. Perkalian Titik (Dot Product)
Perkalian titik antara dua vektor A.B didefinisikan sebagai suatu skalar yang sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan cosinus sudut apitnya. Jika sobat masih bingung sederhananya secara geometris perkalian titik dari 2 buah vektor adalah hasil kali vektor 1 dengan proyeksi vektor 2 dengan dengan vektor 1. Contoh
Perhatikan gambar vektor A dan B di atas. Pangkal keduanya membentuk sudut sebesar θ maka
Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karenan perkalian titik ini menghasilkan skalar maka sering disebut juga dengan scalar product.
Perkalian Titik mempunyai sifat distributif sehingga
A.(B+C) = A.B + A.C
Pada perkalian titik juga berlaku sifat komutatif
A.B = B.A
Berikut beberapa hal yang penting dalam perkalian titik
- Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.
- Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (sudut apit teta = 90º) maka
A.B = 0 - Jika kedua vektor searah A dan B (sudut apit teta = 0º) maka
A.B = AB - Jika kedua vektor A dan B berlawan arah (sudut apit teta = 180º) maka
A.B = -AB
Perkalian Titik Menggunakan Vektor Satuan
Untuk melakukan perkalian titik dari vektor satuan terlebih dahulu kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya. vektor A dan B kita uraikan dulu
A –> Ax î + Ay ĵ + Az k̂
B –> Bx î + By ĵ + Bz k̂
Sekarang kita cari tahu hasil perkalian vektor komponen dari A dot B kemudian kita uraikan perkaliannya.
karena vektor komponen i,̂ j, dan̂ k̂ adalah vektor komponen yang saling tegak lurus dengan membentuk sudut 90º maka perkalian titiknya
i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 (berhimpit)
i x j = i x k = j x k = (1).(1) cos 90º = 0 (tegak lurus)
| A.B | = | (Ax î, Ay ĵ ,Az k̂) (Bx î + By ĵ + Bz k̂) |
| A.B | = | Ax î × Bx î + Ax î × By ĵ + Ax î × Bz k̂ + Ay ĵ × Bx î + Ay ĵ × By ĵ +Ay ĵ ×Bz k̂ + Az k̂ × Bx î + Az k̂ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂ |
| A.B | = | Ax î × Bx î + 0+ 0 + 0 + Ay ĵ × By ĵ +0 + 0̂ + 0 + Az k̂ × Bz k̂ |
| A.B | = | Ax î × Bx î + Ay ĵ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂ |
| = | Ax î × Bx î + Ay ĵ × By ĵ + Az k̂ × Bz k̂
–> karena i x i = j x j = k x k = (1) . (1) cos 0º = 1 maka |
|
| A.B | = | AxBx̂ + AyBŷ + AzBz |
3. Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian silanga A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor yang arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya vketor tersebut sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis dirumuskan
A x B = A sin θ
Berikut adalah hal-hal penting dalam perkalian silang dua buah vektor
- Nilia 0º Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas.
- Perkalian silang bersifat anti komutatif
A x B = -B x A - Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus yaitu sudut apit teta = 90º maka
|A x B| = AB - Jika kedua vektoe A dan B segaris (teta = 0º) dapat searah atau verlawanan maka
A x B = 0
Untuk lebih memahami perkalian vektor dan juga penentuan arah menggunakan kaidah tangan kanan silahkan perhatikan ilustrasi berikut
Misalnya perkalian silang dua vektor A dan vektor B kita tuliskan sebagai A x B (A silang B). Perkalian silang ini hasilnya adalah berupa vektor C. Karena berupa vektor maka ia punya besar dan juga arah.
Besar Vektor Hasil Perkalian Silang
Sesuai rumus di atas, kita dapat menyimpulkan besarnya hasil perkalian silang vektor A dan B (A x B) adalah hasil kali vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor A.
A x B = A (B sin θ) = AB sin θ
Bagiaman kalau kita balik menjadi perkalian silang vektor B dengan vektor A?
Kita buat ilustrasinya terlebih dahulu seperti gambar di bawah ini
Dari gambar di atas perkalian silang antara vektor B dan vektor A adalah hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A yang tegak lurus dan sebidang dengan vektor B.
B x A = B (A sin θ) = BA sin θ
Arah Vektor Hasil Perkalian Silang
Sekarang bagaimana menetukan arah dari hasil perkalian silang vektor A x B dan B x A?
Arah Hasil Perkalian Silang A x B
Seperti disebutkan sebelumnya perkalian silang hasilnya adalah vektor bukan skalar. Jadi ia juga punya arah. Besarnya hasil perkalian sudah kita temukan rumusnya di atas, sekarang kita akan belajar bagaimana menentukan arahnya. Kita gambar dulu kedua vektor A dan B (vektor A dan B ada bidang datar yang sama)
Kita misalkan hasil perkalian silang A x B adalah vektor C. Arah vektor C nih tegak lurus dengan bidang vektor A dan B. Untuk menentukan arahnya kita bisa menggunakan kaida tangan kanan. Kita menggunakan tangan dengan empat jari digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Kita genggamkan jari searah dengan arah dari A ke B (karena perkalian silang A x B) sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Kita tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C. Ibu jari menunjuk ke atas.
Caranya seperti sebelumnya karena B x A maka arah genggaman jari (selain ibu jari) sesuai arah B ke A. Arahnya adalah searah dengan arah jarum jam. Maka ibu jari menunjuk kebawah. Simak ilustrasi berikut.
Perkalian Silang dengan Vektor Satuan
Kita dapat menghitung perkalian silang jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Cara dan urutannya mirip pada perkalian titik.
Pertama
Kita lakukan perkalian silang vektor satuan i, j, dan k. (ingar perkalian silang A x B = AB sin θ). Karena ketiga vektor satuan saling tegak lurus maka
i x i = ii sin 0º = 0
j x j = jj sin 0º = 0
k x k = kk sin 0º = 0
maka i x i = j x j = k x k = 0
untuk perkalian silang vektor satuan yang berbeda menggunakan atura siklus berikut
Aturannya
jika perkalian menurut urutan i -> j -> k maka hasilnya positif (sesuai siklus)
jika perkalian berkebalikan k-> j -> i maka hasilnya adalah negatif (berlawanan siklus)
Kedua
Kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
A × B = (Ax î + Ay ĵ + Az k̂) × (Bx î + By ĵ + Bz k̂)
| A × B | = | Ax î | × | Bx î | + | Ax î | × | By ĵ | + | Ax î | × | Bz k̂ |
| +Ay ĵ | × | Bx î | + | Ay ĵ | × | By ĵ | + | Ay ĵ | × | Bz k̂ | ||
| +Az k̂ | × | Bx î | + | Az k̂ | × | By ĵ | + | Az k̂ | × | Bz k̂ |
nah setelah ini sobat bisa pakai aturan siklus pada gambar sebelumnya.
| A × B | = | AxBy k̂ | − | AxBz ĵ |
| − | AyBx k̂ | + | AyBz î | |
| + | AzBx ĵ | − | AzBy î |
dan taraaaa ketemu deh rumus perkalian silang untuk vektor satuan 😀
A × B = (AyBz − AzBy) î + (AzBx − AxBz) ĵ + (AxBy − AyBx) k̂
Sekian dulu materi bagaimana sih perkalian vektor. Jika ada yang belum jelas jangan ragu-ragu untuk menanyakannya lewat kolom komentar di bawah ya. 😀