RumusHitung.Com

Dear sobat hitung, malam ini kita akan belajar tentang salah satu materi matematika yang bakal kalian temui di bangku SMP dan SMP. Materi itu adalah persamaan kuadrat. Apa sih persamaan kuadrat itu? Yuk simka pembahasan dari tim kami berikut.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

adalah bentuk model matematika yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertingginya adalah dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum :

ax²+bx+c=0 dengan a,b dan c ϵ R dan a≠0

contoh : 3x²+4x+1

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu dengan mencari nilai x, ada beberapa cara yang dapat dilakukan seperti memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc

Memfaktorkan

• Memfaktorkan jenis ax² +bx=0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif yaitu :
  ax²+bx=0
  x(ax+b)=0
  Jadi x=0 dan ax+b=0Contoh :
  Selesaikan  3x² +x=0
  Penyelesaian :
  3x² +x=0
  x(3x+1)=0
  x=0atau
  3x+1=0
  3x=-1
  x= -1/3
  jadi penyelesaiannya adalah {-1/3, 0}

• Memfaktorkan jenis ax²+bx+c=0
  Untuk persamaan kuadrat jenis ax²+bx+c=0 dapat difaktorkan dalam bentuk :
  dengan p dan q bilangan bulat atau
  Sehingga dapat disimpulkan#

  b= p+q
  c = pq/a atau ac=pq

  Contoh :
  Dengan memfaktorkan tentukan himpunan penyelesaian dari 3x²-7x-6=0

  Jawab :
  3x²-7x-6=0
  Dengan nilai a=3, b= -7, c= -6
  p+q= -7, p.q= 3.-6= -18

  untuk menentukan nilai p dan q yang apabila dijumlah menghasilkan -7 dan apabila dikalikan menghasilkan – 18 maka didapat p=2 dan q=-9 sehingga :

  3x²-7x-6=0
  (3x+2)(x-(9/3) )
  (3x+2)(x-3)
  3x+2=0
  x= -2/3

  atau x-3=0
  x-3=0
  x=3

  jadi, himpunan penyelesaiannya {-2/3, 3}

Menyempurnakan Kuadrat

Dalam melengkapkan kuadrat terhadap persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 dapat dilakukan dengan beberapa tahap yaitu :

1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan
   ax²+bx=c
2. Jika a≠1, bagi kedua ruas dengan a.
   
3. Tambahkan pada ruas kanan dan ruas kiri kuadrat dari 1/2 kali koefisien x.
   
4. Nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna pada ruas kiri.
   
5. Kemudian tarik akar di ruas kanan
   

Contoh :

Tetukan himpunan penyelesaian untuk x²-6+2=0

Penyelesaian :

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {3-√7, 3+√7}

Menggunakan Rumus Abc

Mencari nilai-nilai akar persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 adalah dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

atau dapat ditulis

sehingga akar-akar  tersebut adalah :

contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan  2x² -5x -6=0 dengan menggunakan rumus ABC

Penyelesaian :

2x² -5x -6=0

Dengan nilai a=2, b=-5, c=-6 maka

Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat Dengan Diskriminan.

Pada rumus abc diperoleh rumus :

pada rumus diatas terdapat b²-4ac disebut diskriminan (D). Dengan menggunakan diskriminan (D= b²-4ac ), kita dapat menentukan jenis-jenis akar dari persamaan kuadrat yaitu :

1. Jika D >0 maka persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 mempunyai 2 akar riil yang berlainan.
2. Jika D<0 maka persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 tidak memiliki akar riil.
3. Jika D=0 maka persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 memiliki 2 akar riil yang sama.

Contoh :

Tentukanlah jenis akar persamaan kuadrat 3x² -5x +2=0, tanpa terlebih dahulu menentukan akar-akarnya.

Penyelesaian :

Dengan nilai a=3, b=-5 dan c=2 maka
D= (-5)²-4.3.2
D=1

Oleh karena D>0 maka persamaan kuadrat 3x² -5x +2=0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.

Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika akar-akar persamaan kuadrat telah kalian peroleh maka kalian dapat menari hasil kali dan penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Tetapi ada kejadian dimana kalian di perintah untuk mencari hasil kali atau jumlah akar akar persamaan kuadrat tanpa memperoleh terlebih dahulu akar-akarnya.

Misalkan persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 memiliki akar-akar x₁, x₂ :

Jadi, rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat adalah :

x₁+x₂= -b/a

sedangkan untuk rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat adalah

Jadi rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat adalah

x₁.x₂= c/a

Bentuk-bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

1. x₁²+ x₂² =(x₁+x₂)²-2 x₁x₂
2. x₁³+ x₂³ =(x₁+x₂)³-3 x₁x₂(x₁+x₂)
3. x₁⁴+ x₂⁴ =( x₁²+ x₂²)³– 2(x₁x₂ )²

Contoh :

Diketahi x₁,x₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x²-3x+5=0, tentukan nilai dari :

1. x₁+x₂
2. x₁x₂
3. x₁²+ x₂²
4. (x_1/x₂)+(x_2/x₁)

Penyelesaian :

x²-3x+5=0

a = 1, b = -3, dan c =5

Menyusun persamaan kuadrat baru

Menyusun persamaan apabila diketahui akar-akarnya

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk :

(x- x₁)(x- x₂)=0

Contoh

Diketahui persamaan kuadrat yang akar akarnya adalah -2 dan 3.

Penyelesaian :

x₁ =-2 dan x₂=3
(x-(-2))(x-3)=0
(x+2)(x+3)
x²-3x+2x-6=0
x²-x-6=0

Menyusun persamaan kuadrat apabila diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Jika diketahui suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁dan x₂ dan diketahui (x₁₊ x₂) dan (x_1.x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dibentuk sebagai berikut :

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

Contoh :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -1/2

Penyelesaian :

x₁=3 dan x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

maka persamaan kuadratnya adalah

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

x²– 5/2 x – 3/2=0 masing-masing ruas dikali 2

2x²-5x-3=0

Itulah tadi sobat materi dari kami tentang persamaan kuadrat. Kalau ada yang masih bingung silahkan ditanyakan pada kolom komentar di bawah ya..