INTEGRAL TRIGONOMETRI
Hai kali ini kita akan membahas mengenai integral trigonometri. Suatu fungsi trigonometri juga dapat diintegralkan. Untuk megintegralkan fungsi trigonometri ada beberapa rumus-rumus dasar yang perlu diketahui.
- Bentuk Baku Integral Trigonometri
Selain rumus dasar integral di atas dalam mengintegralkan fungsi trigonometri juga digunakan identitas trigonometri. Berikut ini adalah beberapa identitas trigonometri yang sering digunakan.
- Identitas Trigonometri
Subtitusi dalam integral trigonometri
Subtitusi juga digunakan dalam integral trigonometri yaitu dengan mengubah bentuk fungsi trigonometri menjadi bentuk baku yaitu dengan mengubah fungsi menggunakan identitas trigonometri.
Dalam mengerjakan soal integral trigonometri kita perlu melakukan permisalan dalam pemisalan tersebut biasanya yang dimisalkan diturunkan atau kita menggunakan diferensial. Sehingga kita juga perlu memahami konsep diferensial.
Diferensial suatu fungsi adalah sebagai berikut
Dx axn = n . axn-1
Contoh :
- ∫ Sin 5x dx tentukan integral tersebut !
Jawab :
Misal :
u = 5x
du = 5 dx
1/5 du = dx
sehingga
∫ Sin 5x dx = ∫ Sin u 1/5 du
Ganti 5x dengan permisalan sebelumnya yaitu u. kemudian subtitusikan dx yaitu 1/5 du.
= 1/5 ∫ Sin u du
Kemudian lihat bentuk baku integral dari sin yaitu –cos.
= – 1/5 cos u
Karena sudah diintegralkan maka lambang integralnya hilang dan di tambah + C di akhir jawaban. Kemudia jangan lupa untuk mensubtitusikan nilai u yaitu 5x
= – cos 5x + C
- Carilah
Jawab :
Perhatikan bentuk integral tersebut.
Selanjutya kita melakukan pemisalan yaitu
U =x2
du =2x dx
1/2 du = x dx
Sehingga
Jawab :
Misal :
U = 6x
du = 6dx
1/6 du = dx
Kemudian karen adalam soal terdapat batas yaitu (0, π/2). Sehingga kita harus mensubtitusikan batas tersebut ke pemisalan.
U = 6x
Untuk x=0
U = 6.0 = 0
Untuk x= π/2
U = 6. π/2= 3π
Maka batasnya sekarang berubah yaitu menjadi (0,3π)
Sehingga
Ketika memiliki batas maka + C tidak perlu di tambakan saat hasil akhir.
Integral Parsial
Rumus integral parsial yaitu
Contoh :
- ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =…..
|____| |__________|
u dv
Jawab :
Langkah pertama yaitu tentukan terlebih dulu mana u dan mana dv
Misalkan
(x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) …(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π) dx …(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi sesuai rumus integral parsial:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
- ∫ x sin 2x dx = …
Jawab :
Demikian tadi sobat, materi dari kami tentang integral trigonometri. Semoga bisa membantu belajar sobat hitung di rumah. Jika ada yang kurang jelas atau ada pertanyaan silahkan disampaikan di kolom komentar di bawah yak..