Selamat pagi, malam, siang sahabat semua? Pada postingan sebelumnya kita sudah sempat membahasa mengenai suku bayak ya, nah kali ini kita akan membahas salah satu materi yang merupakan bagian dari suku banyak yaitu teorema sisa. Teorema sisa menunjukkan mengenai sisa pembagian suatu suku banyak. Dimana dengan teori ini teman-teman semua bisa menentukan sisa hasil pembagian tanpa harus melakukan perhitungan terlebih dahulu menggunakan horner atau porogapit, tentu hal ini akan sangat membantu teman-teman dalam mengerjakan soal untuk menghemat waktu yang ada, sehingga lebih efektif dan efisien.
Jika ada suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (x-h) maka hasil baginya adalah suatu suku banyak yang lain yang dapat dinyatakan dengan h(x).
f(x) = ( x – h ) h( x ) + S
S adalah berupa kontanta, yaitu tidak memuat x. Jika sisa S masih memuat variable maka masih dapat dilakukan pembagian satu langkah lagi.
Teorema 1
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan ( x – h), maka hasilnya f(h)
Berikut ini adalah pembuktiannya :
Bukti :
Misal hasil bagi suatu suku banyak h(x) dan sisanya S. Derajat S lebih rendah satu dari pada derajat ( x – h ). Oleh karena itu, S adalah konstanta. Pada teorema 1 dikatakan bahwa f(x) dibagi dengan ( x – a ) mak hasilnya f(h) atau bisa ditulis f(x) = ( x – h) h( x ) + S. jika x diganti dengan h, maka diperoleh :
f(x) = ( x – h) h( x )+S
f(h) = (h – h) h( x ) +S
= 0 + S
=S
Jadi f( h ) = S.
Contoh :
- Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x3 + 7x2 – 5 dengan x-2 .
Jawab :
Menurut teorema 1 kita bisa langsung menentukan sisa pembagian dari suku banyak 2x3 + 7x2 – 5 dengan x-2.
X – 2 = 0
X = 2
Jadi sisanya adalah f(2)
Oke untuk membuktikan kebenarannya kita bisa menggunakan pebagian suku banyak dengan porogapit.
Kedua cara di atas menghasilkan angka yang sama yaitu 39 sebagai sisa pembagian suku banyak tersebut. Cara menentukan sisa pembagian suku banyak lebih efisien dengan teorema sisa.
- Tentukan sisa pembagian suku banyak dari x3 + 3x2 -4x + 1 dengan x + 3.
Jawab :
Dengan menggunakan teorema sisa 1 kita bisa langsung menentukan sisa dari hasil pembagian x3 + 3x2 -4x + 1 dengan x + 3 tanpa mengoperasikan terlebih dahulu menggunakan horner atau porogapit.
Dengan teorema sisa maka didapatkan sisa pembagiannya adalah :
x + 3 =0
x = -3
Untuk menguji kebenarannyan akan digunakan pengecekan menggunakan metode horner
Hasil dari menggunakan metode horner juga 13. Sehingga sisa pembagiannya adalah 13.
Teorema 2
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax-b), maka sisanya f(b/a)
Bukti:
Karena ( ax – b) = a(x – b/a), maka pada pembagian f(x) oleh ( x – b/a) sisanya adalah f(b/a). dan hasil baginya adalah h(x).
f(x) =( x – b/a) h(x) + f(b/a)
f(x) =(ax – b) h(x)/a +f(b/a)
Contoh
Tentukan sisa pembagian suku banyak 2x4 + x3 – x2 + 6x -1 dengan 2x-1.
Jawab :
Menurut teorema 2 kita bisa langsung mensubtitusikan yaitu terlebih dahulu dengan membentuk pembaginya sebagai berikut :
2x – 1 = 2 (x- ½)
f (b/a) = f(1/2)
sekarang setelah mendapatkan nilai a/b kita subtituskan a/b ke dalam fungsi yang akan dibagi.
Nah kita dapatkan hasilnya yaitu 2. Oke untuk lebih meyakinkan kita akan menguji soal tersebut dengan menggunakan metode horner
Dari metode horner di atas kita mendapatkan sisa 2, sama dengan hasil ketika kita menggunakan teorema 2.
Oke sekian pembahasan materi mengenai teorema sisa, ada dari penjabaran materi di atas ada 2 hal yang harus di ingat yaitu :
Teorema 1 :Jika suku banyak f(x) dibagi dengan ( x – h), maka hasilnya f(h)
Teorema 2 : Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax-b), maka sisanya f(b/a)
Semoga bermanfaat, semoga sahabat semua semakin mancintai matematika.