RumusHitung.Com

Hai sahabat rumus hitung, sekarang kita akan mencoba belajar salah satu materi baru yang masuk dalam kurikulum 13 yaitu induksi matematik. Kalian udah tau belum apa itu induksi matematik? Yuk langsung aja kita simak penjabarannya di bawah ini.

Induksi matematik merupakan metode pembuktian suatu teorema atau pernyataan. Induksi matematik ini akan dipelajari lebih lanjut d jenjang perguruan tinggi. Pembuktian kebenaran suatu teorema dengan induksi matematika adalah kebenaran yang berlaku dalam semesta pembicaraannya. Melalui Induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah suatu pembuktikan bilangan bulat dalam suatu himpunan dengan langkah yang terbatas.

Prinsip Induksi matematis

• Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan
• Kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut P(n) benar untuk semua bilangan asli.

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita hanya perlu menunjukkan bahwa P(n) memenuhi dua sifat berikut

1. P(n) benar untuk n=1
2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar.

Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Langkah 1 dinamakan langkah dasar atau basis induksi.

Langkah 2 dinamakan langkah induksi.

Langkah induksi berisi asumsi atau hipotesis induksi bahwa P(n) benar.

Prinsip Induksi Matematis yang diperluas

• Misalkan P(n) benar untuk n=1
• Untuk setiap bilangan asli k m, jika P(k), bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar.

Maka P(n) bernilai benar untuk semua bilangan asli yang lebih atau sama dengan m.

Ketika kita akan membuktikan suatu pernyataan hal terpenting adalah tuliskan “bukti” sebelum membuktikannya.

Contoh :

Buktikan bahwa “untuk semua bilangan asli n, jumlah n bilangan ganjil berturut-turut pertama =n²”

Bukti :

Pernyataan di atas kita misalkan sebagai pernyataan P(n):Jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama =n^2..

1. Basis Induksi

Pernyataan P(n) benar untuk n=1,

Bilngan ganjil pertama yaitu 1, jumlah k bilangan ganjil pertama yaitu 1²=1

Jadi terbukti bahwa P(1) adalah benar.

2. Langkah Induksi

Misalkan pernyataan P(n) benar untuk n=k

Artinya “Jumlah k bilangan ganjil berurutan pertama adalah k²”

Secara matematis pernyataannya dituliskan dengan bentuk berikut :

1+3+5+…+(2k-1)= k²

Akan dibuktikan juga bahwa P(k+1) benar untuk n=k+1

Artinya “jumlah (k+1) bilangan ganjil berurutan pertama adalah (k+1)²

Secara matematis dituliskan sebagai berikut

P(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)= (k+1)²

Kita lihat persamaan terakhir ruas kiri

P(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)

Kemudian kita olah hingga mendapatkan persamaan berikut

P(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)        = k²+(2(k+1)-1)

= k²+2k+2-1

= k²+2k+1

=(k+1)²

Terbukti bahwa P(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)= (k+1)²

Kesimpulannya jadi P(n) jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama =n² benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2

Buktikan bahwa “3 membagi n(n+1)(n+2) untuk setiap bilangan asli n”!

Bukti

Misalkan P(n):3 membagi n(n+1)(n+2) untuk setiap bilangan asli n

1. Basis Induksi

Untuk n=1

Kita subtitusikan kedalam pernyataan

P(1)        =n(n+1)(n+2)

=1(1+1)(1+2)

=1(2)(3)

=6

6 dapat dibagi habis oleh 3. Jadi, terbukti bahwa pernyataan P(n) bernilai benar untuk n=1

2. Langkah Induksi

Misalkan n=k , anggap bahwa pernyataan P(k) bernilai benar. Artiya kita anggap bahwa 3 membagi k(k+1)(k+2)

Misalkan n=k+1, akan ditunjukkan bahwa P(k+1) bernilai benar, subtitusikan (k+1) pada pernyataan

P(k+1)             = k+1((k+1)+1)((k+1)+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=[(k+1)(k+2)k]+[(k+1)(k+2)3]

=k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)

Dari pemisalan kita tahu bahwa k(k+1)(k+2) terbukti dapat dibagi dengan 3

Sedangkan untuk 3(k+1)(k+2), 3 juga membagi persamaan tersebut, maka terbukti 3 membagi k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)

Jadi terbukti 3 membagi k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)

Jadi P(n) 3 membagi n(n+1)(n+2) benar untuk setiap bilangan asli n.

Prinsip induksi matematis kuat

Terdapat beberapa pernyataan yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan dengan induksi matematis biasa. Sebab  inilah ada induksi matematis kuat. Prinsip utama metode ini adalah

Dimisalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Dikatakan bernilai benar apabila memnuhi dua sifat berikut

1. P(1) benar,
2. Setiap bilangan asli k, jika P(1),P(2),…, P(k-1), P(k) bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar

Maka P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli

Contoh

Barisan bilangan x_n didefinisikan sebagai berikut :

X₁=1, x₂=2, x_n+2=1/2(x_n+1+x_n) untuk semua bilangan asli n, akan ditunjukkan bahwa   untuk semua bilangan asli n.

Bukti

Misalkan P(n):

1. Basis Induksi

Misalkan n=k, untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(1),P(2),…, P(k-1),P(k) benar

Akan ditunjukkan P(k+1) : bernilai benar.

Dari P(1),P(2),…, P(k-1),P(k) benar, maka  untuk n=1, 2,…,k-1,k khususnya  dan . Akibatnya

Dari definisi di atas diperoleh 1=2/2=1/24/2=2

Terbukti bahwa P(k+1) :

Jadi P(n): terbukti benar untuk semua bilangan asli n