Halo sobat bagaimana kabarmu hari ini? semoga sehat selalu dan tetap semangat belajar ya!.
Siapakah diantara sobat yang suka pelajaran matematika? Menurutmu apa sih keuntungan belajar matematika? Salah satu keuntungan belajar matematika yaitu kita bisa memodelkan setiap keadaan secara numerik terutama bagi seorang pedagang.
Misalnya nya seorang pedagang lilin mempunyai modal usaha sebesar Rp. 800.000 yang kiosnya hanya dapat menampung 500 bungkus lilin. Jika harga beli lilin a setiap bungkusnya Rp. 2.000 dan lilin B setiap bungkusnya Rp. 1.000
Supaya modal yang dimiliki pedagang tersebut dapat digunakan seluruhnya untuk membeli lilin sesuai kapasitas kios tanpa harus berhutang, bagaimanakah model matematika yang sesuai? temukan penyelesaiannya pada pembahasan program linear kali ini..
Pengertian Program Linear
Program linear yaitu sebuah metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah ke dalam bentuk persamaan linear. Pada saat mempelajari program linear maka sama artinya kita belajar grafik pertidaksamaan. Adapun bentuk umum dari pertidaksamaan linear yaitu ax + by ≤ c.
Menggambar Daerah Pertidaksamaan
Pertidaksamaan linear jika dinyatakan dalam bentuk gambar maka akan membentuk sebuah daerah yakni sebelah kanan garis atau di sebelah kiri garis. Langkah-langkah yang perlu diperhatikan pada saat menggambar daerah pertidaksamaan diantaranya;
- Menentukan dua buah titik potong yang melewati persamaan garis ax + by = c. Sedangkan titik potong yang digunakannya yaitu sumbu x dan sumbu y. kemudian
- Menentukan daerah penyelesaian. Metode penyelesaian yang dapat digunakan ada dua yakni metode titik uji dan metode ax + by > c (daerah sebelah kanan garis) atau ax + by < c (daerah sebelah kiri garis) dengan a > 0.
Untuk lebih jelasnya simaklah contoh soal berikut ini…
Contoh 1
Gambarkanlah daerah pertidaksamaan dari 2x ≤ y.
Pembahasannya;
Mula-mula Kita harus mencari dua titik potong garis 2x = y seperti berikut;
karena pertidaksamaan 2x ≤ y dapat diubah menjadi 2x – y ≤ 0, maka daerah yang diambil yaitu
Pembahasan diatas merupakan cara untuk menggambarkan grafik pertidaksamaan yang diketahui. Nah selanjutnya kita akan belajar mengenai cara menentukan pertidaksamaan pada daerah yang diketahui..
Menentukan Pertidaksamaan pada Daerah yang Diketahui
Menentukan pertidaksamaan pada daerah yang diketahui yakni;
- Mula-mula kita tentukan persamaan garisnya terlebih dahulu, Sebagimana yang telah kita pelajari pada pelajarangradien.
- Pada saat menentukan persamaan garis menggunakan koordinat kartesius, maka setidaknya kita harus mengetahui dua titik yang kedua titik tersebut dimisalkan sebagai (x1,y1) dan (x2,Y2) kemudian kita substitusikan kedua nilai x dan y tersebut ke persamaan berikut;
Kita juga dapat menggunakan cara sebagai berikut seperti berikut;
Pada dasarnya menentukan pertidaksamaan — , baik melalui titik uji ataupun metode gambar diatas — daerah kanan yang merupakan daerah besar sedangkan daerah kiri merupakan daerah kecil Jika a > 0.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem pertidaksamaan linear merupakan sebuah gabungan dari beberapa sistem pertidaksamaan linear daerah penyelesaian nya yaitu daerah yang diarsir. Untuk lebih jelasnya simak contoh soal berikut ini;
Contoh 2
Gambarkanlah daerah pertidaksamaan dari sistem pertidaksamaan berikut;
2x + 3y ≥ 6, x ≥ 3, y ≤ 5, dan x + y ≤ 8
Pembahasannya;
Mula-mula kita tentukan titik potongnya untuk setiap pertidaksamaan nya;
Untuk 2x + 3y ≥ 6, maka titik potongnya ;
Untuk x ≥ 3, maka titik potongnya ;
(3, 0) (3, 1)
Untuk y ≤ 5, maka titik potongnya;
(0, 5) (1, 5)
Untuk x + y ≤ 8, maka titik potongnya;
Sehingga dapat digambarkan dengan;
Membuat Model Pertidaksamaan dari Soal Cerita
Banyak kegiatan kita sehari-hari yang melibatkan matematika seperti halnya mencari keuntungan maksimum bagi para pedagang, mencari biaya produksi minimumnya, menentukan omset tertinggi dari suatu bisnis, dan sebagainya.
Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut maka kita harus mengubahnya menjadi bahasan matematika. Contohnya seperti pedagang lilin pada awal materi ini.
Permasalahan pedagang lilin di awal pembahasan lilin yang mempunyai modal sebesar Rp. 800.000 dengan kios yang hanya mampu menampung 500 buah lilin. Harga beli lilin A per bungkusnya sebesar Rp. 2.000, sedangkan lilin B per bungkus nya Rp. 1.000.
Supaya modal yang dimiliki penjual tersebut dapat dipakai sepenuhnya untuk membeli lilin sesuai kapasitas kios tanpa harus berhutang, maka berapakah model matematika yang sesuai?
Yuk kita bantu permasalahannya pedagang tersebut!
- Mula-mula kita tentukan dahulu benda apa apa sajakah yang dibicarakan pada permasalahan di atas yaitu lilin A dan lilin B. kemudian,
- Kita tentukan variabel dari masing-masing lilin misalnya lilin a = x, lilin b = y
Kemudian kita jabarkan secara matematis sehingga menjadi seperti berikut;
Nah dengan demikian, model matematika yang sesuai yaitu;
x + y ≤ 500 (karena kapasitas kios tidak lebih dari 500) ,kemudian
2000x + 1000y ≤ 800.000 (karena jumlah pembelian nya tidak boleh melebihi modal)
Karena x dan y nilainya mewakili banyak benda, maka x dan y ≤ nol
Mencari Nilai Maksimum dan Minimum dari Soal Cerita
Pada soal cerita, sering kita jumpai pertanyaan mengenai penerapan nilai maksimum dan minimum seperti keuntungan maksimum, pendapatan maksimum, biaya produksi minimum, dan sebagainya.
Sebelum menyelesaikan masalah pertidaksamaan pada soal cerita maka kita harus mengenal terlebih dahulu titik pojok dan garis selidik. Berikut penjelasannya;
Titik Pojok
- Titik Pojok yaitu titik untuk mengidentifikasi nilai maksimum dari suatu grafik pertidaksamaan. Titik ini letaknya berada pada titik sudut daerah yang terdefinisi.
- Garis selidik digunakan apabila titik pojok suatu daerah cukup banyak dan ada lebih dari satu titik yang belum diketahui.
Untuk lebih jelasnya Simaklah contoh soal berikut;
Contoh 3
Sebuah daerah parkir mempunyai luas daerah 1760 M², rata-rata mobil kecil luasnya 4 M², mobil besar luasnya 20 M², sedangkan daya tampung lahan parkir maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil kecil sebesar Rp. 5.000 per jam sedangkan mobil besar Rp. 8.000 per jam. Apabila dalam 1 jam parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, berapakah penghasilan maksimum tukang parkirnya?
Pembahasannya;
Diketahui;
x = banyaknya mobil kecil yang diparkir dalam 1 jam,
y = banyaknya mobil besar yang di parkir dalam 1 jam
Kemudian kita gambarkan tabel keterkaitan sebagai berikut;
Sehingga model matematikanya yaitu;
x + y ≤ 200, 4x + 20y ≤ 1760 atau x + 5y ≤ 440, x ≥ 0 dan Y ≥ 0
Sedangkan fungsi objektifnya yaitu
z = f(x,y) = 5000x + 8000y, sehingga gambar daerahnya yaitu
Kemudian kita gunakan metode pojok. Salah satu titik c belum diketahui namun dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi yakni
Kemudian kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan x + y = 200 sehingga diperoleh y = 140 sehingga titik sudut say ialah (140,60).
Setelah itu kita substitusikan semua titik sudut yang telah diketahui ke dalam tabel;
Sehingga pendapatan maksimum Tukang parkirnya ialah sebesar Rp. 1.180.000.
Demikianlah sobat, sedikit materi mengenai program linear yang dapat kami sampaikan. Semoga bermanfaat, dan sampai jumpa pada kesempatan yang lai 🙂 🙂 🙂