Hai sobat bagaimana kabarmu hari ini? semoga sehat selalu dan tetap semangat belajar ya!
Pada kesempatan kali ini rumus itu akan membahas materi mengenai baris dan deret. Penerapan konsep baris dan deret sering kita jumpai pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, kamu melakukan investasi sebanyak 10 juta Rupiah, pada bulan pertama kamu berinvestasi, kamu memperoleh keuntungan sebesar Rp. 2.000, pada bulan kedua keuntungannya naik menjadi Rp. 4.000, dan bulan ketiga naik lagi menjadi Rp. 8.000
Kira-kira berapakah keuntungan yang akan kamu peroleh setelah 10 bulan berinvestasi?. Nah, total keuntungan yang akan kamu peroleh setelah 10 bulan berinvestasi ternyata dapat dapat diketahui dengan konsep baris dan deret loh, Mau tahu kelanjutan pembahasannya baris dan deret? simak ulasan berikut…
Secara garis besar, baris dan deret dibedakan menjadi dua yaitu baris deret aritmatika dan barisan deret geometri, apa saja perbedaan dari keduanya?
yuk simak uraiannya berikut ini….
Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika yaitu barisan bilangan dengan pola yang tetap menurut operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara ke dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika dikenal dengan sebutan beda, dan dilambangkan dengan ” b “. Adapun rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmatika yaitu;
Keterangan;
b : beda,
Un : buku ke-n,
Un-1 : suku sebelum suku ke-n, dan
n : banyaknya suku
1). Bentuk Barisan Aritmatika
Berikut ini merupakan bentuk dari barisan aritmatika;
Adapun rumus selisih atau beda yaitu;
Keterangan;
Un+1 : suku ke-n + 1,
Un : suku ke-n, dan
b : beda atau selisih
Dari rumus suku ke-n tersebut, maka dapat diperoleh;
U1, U2, U3, …. , Un-2 , Un-1, Un
Apabila banyaknya suku (n) ganjil, kita dapat menentukan suku tengah (UT) barisan aritmatika dengan rumus;
Namun, apabila di antara 2 buah suku U1, U2, U3, …. , Un disisipkan k buah bilangan baru, sehingga membentuk barisan geometri yang baru, beda dan banyaknya suku barisan tersebut perubahannya dapat diketahui melalui rumus berikut;
Keterangan;
b’ : Beda barisan aritmatika baru,
b : beda barisan aritmatika lama,
k : banyaknya bilangan yang disisipkan,
n’ : banyaknya suku barisan aritmatika baru, dan
n : banyaknya suku barisan aritmatika lama.
Yang perlu diingat yakni suku pertama barisan yang baru adalah sama dengan suku pertama barisan yang lama.
2). Suku ke-n Barisan Aritmatika
Saat kita diminta untuk mencari suku ke-n pada barisan aritmatika, cara yang termudah ialah dengan mencarinya satu-persatu hingga suku ke-n. Akan tetapi cara ini tidaklah praktis dan membutuhkan waktu yang lama. Maka jika diminta mencari suku ke-12 mungkin masih bisa dicari, namun bagaimana jika diminta suku ke 2.000 maka sangat sulit bukan?. Nah, untuk untuk mencari suku ke-n dengan mudah kita dapat menggunakan rumus berikut ini;
Keterangan;
a : suku awal (U1),
Un : suku ke-n, dan
b : beda atau selisih.
Untuk lebih memahaminya simaklah contoh soal berikut ini;
Contoh 1
Tentukanlah suku ke-20 dari barissan 18, 22, 26, 20…
Pembahasan;
Diketahui
a = 18
b = 4
Ditanya U20 = ….?
Pembahasan;
U20 = a + (n – 1)b
U20 = 18 + (20 -1)4
U20 = 18 + (19 x 4)
U20 = 94
3). Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika sobat menjumpai suatu barisan aritmatika yang banyak sukunya ganjil. Pasti baris aritmatika tersebut mempunyai suku tengah ( Ut ). Untuk mencari suku tengah tersebut kita dapat menggunakan rumus berikut;
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut;
Contoh 2
Suatu barisan aritmatika dengan suku tengah 15, mempunyai suku barisan sebanyak 11. Suku ke-4 ( U4 ) bernilai -3, tentukanlah suku terakhirnya!
Pembahasan;
Diketahui;
Ut : 15,
n : 11
Ditanya : Un = ….?
Pembahasan;
Mula-mula kita harus mencari nilai t terlebih dahulu yakni;
Suku tengahnya ialah suku ke-6 , sehingga U6 = 15.
Untuk menemukan nilai a dan b, maka kita gunakan metode eliminasi;
Kemudian kita subtitusikan nilai b pada persamaan (1);
Setelah itu kita Tentukan suku terakhir barisan tersebut;
Jadi suku terakhirnya ialah 60.
4). Sisipan Bilangan Pada Barisan Aritmatika
Jika kita menjumpai sebuah barisan aritmatika dengan beda b, kemudian barisan aritmatika tersebut disisipi oleh k bilangan pada setiap dua bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi oleh k bilangan tersebut, maka akan terbentuklah aritmatika baru yang bedanya disebut b’. Nah bagaimanakah cara menentukan beda bilangan Aritmatika yang baru tersebut?.
Untuk menentukannya kita dapat menggunakan rumus persamaan berikut;
Dengan ketentuan, suku pertama pada barisan yang baru sama dengan suku pertama pada barisan sebelumnya. Sebab bilangan yang disisipkan tidak berada pada awal baris.
Deret Aritmatika
Deret aritmatika memiliki kaitan dengan barisan aritmatika. Deret aritmatika dilambangkan dengan Sn yang merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmatika. Deret aritmatika juga dapat diartikan sebagai penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika.
Untuk menentukan n suku pertama pada deret aritmatika kita dapat menggunakan rumus;
Kemudian kita substitusikan Un = a+(n-1) b, sehingga dihasilkan;
Sebagai contoh, Sn – 1 = U1 +U2+ U3+ …. +Un-1 dan Sn = U1+U2+ U3+ …. +Un-1+Un. Dalam hal ini, hubungan antara Sn-1 dan Un yakni;
Untuk lebih mudah memahaminya, coba simaklah contoh soal deret aritmatika berikut;
Contoh 3
Tentukanlah jumlah bilangan kelipatan 3 diantara bilangan 10 hingga 100
Pembahasan;
Jumlah bilangan kelipatan 3 diantara bilangan 10 hingga 100 yakni;
Keterangan;
a = 12,
Banyaknya jumlah suku = 30
Jadi, Jumlah bilangan kelipatan 3 diantara bilangan 10 hingga 100 yaitu sebanyak 1.665.
Barisan Geometri
Apakah barisan geometri itu? lalu Apakah bedanya dengan barisan aritmatika?. Barisan geometri yaitu barisan bilangan yang merupakan hasil bagi antara dua suku berurutan yang selalu sama atau tetap. Hasil bagi atau perbandingan antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri di dinamakan rasio dan dilambangkan dengan huruf ” r “.
1). Bentuk Barisan Geometri
Untuk menentukan rasio pada barisan geometri kita dapat menggunakan rumus berikut;
keterangan;
r : rasio,
Un : suku ke-n,
Un-1: suku sebelum suku ke-n, dan
n : banyaknya suku
2). Suku ke-n pada Barisan Geometri
Menentukan suku ke-n suku ke-n pada barisan geometri dapat dengan mudah menggunakan rumus persamaan berikut;
Dari rumus persamaan suku ke-n tersebut, maka dapat diperoleh;
Apabila jumlah suku (n) ganjil, maka suku tengah pada barisan geometri dapat ditentukan menggunakan rumus;
Selain itu, apabila di antara 2 buah suku disisipkan 3 buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka rasio banyaknya suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai dengan rumus;
Keterangan;
r’ : rasio barisan geometri baru,
r : rasio barisan geometri lama,
k : banyak suku yang disisipkan,
n’ : banyak suku barisan geometri baru, dan
n : banyak suku barisan geometri lama.
Hal yang perlu diingat. Bahwa suku pertama pada barisan Baru adalah sama dengan suku pertama pada barisan yang lama,
Dengan kata lain a merupakan suku pertama atau U1 untuk lebih memahaminya, coba simaklah contoh soal berikut;
Contoh 4
Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 pada barisan geometri secara berurutan yakni 12 dan 17. Apabila niali r > 0, maka tentukanlah nilai dari suku ke-3!
Pembahasan;
Diketahui;
U2 = 12,
U4 = 27,
r > 0
Ditanya : U3 = ….?
Pembahasan;
Pertama kita nyatakan terlebih dahulu suku kedua (U2) dan suku keempat (U4) seperti berikut;
Setelah Itu kita lakukan pembagian diantara kedua suku tersebut;
Setelah rasionya diketahui, maka kita tentukan suku ketiganya;
Jadi nilai dari suku ketiga (U3) yaitu 18.
3). Suku Tengah Barisan Geometri
Seperti halnya pada barisan aritmatika. Suku tengah pada barisan geometri yang banyak sukunya ganjil, Maka suku tengahnya dapat ditentukan menggunakan persamaan;
4). Sisipan pada Barisan Geometri
Pada saat kita menjumpai barisan geometri dengan rasio r, yang barisan geometri tersebut disisipi oleh k bilangan pada setiap 2 bilangan yang berdekatan, setelah disisipkan k bilangan tersebut, maka akan terbentuk barisan geometri baru yang rasionya k’. Maka, berapakah rasio barisan geometri yang baru? kita dapat menentukan nya dengan mudah menggunakan rumus persamaan;
Deret Geometri
Jumlah suku ke-n pertama dari suku-suku barisan geometri dinamakan dengan deret geometri berhingga. Disebut dengan dengan deret geometri berhingga karena mempunyai suku akhiran tertentu. Secara matematis jumlah suku ke-n pertama pada barisan geometri dirumuskan dengan;
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal deret geometri berikut;
Contoh 5
Pembahasan;
Diketahui;
Ditanya : r = ….?
Pembahasan;
Mula-mula kita tentukan suku Ke-1 dan suku ke-2 barisan tersebut;
Kemudian kita tentukan Jumlah 2 suku pertamanya pada barisan geometrinya;
Setelah itu kita Tentukan suku keduanya
Setelah itu kita tentukan rasionya;
Jadi rasio barisan geometri tersebut yaitu 3.
Masih ingat dengan persoalan pada awal pembahasan mengenai keuntungan setelah kita berinvestasi selama 10 bulan? Nah, berikut ini pembahasannya
Contoh 6
Kita melakukan investasi sebesar Rp. 10.000.000. Pada bulan pertama investasi, keuntungan yang diperoleh sebesar Rp. 2.000. kemudian pada bulan kedua, keuntungannya bertamabh menjadi Rp. 4.000 dan dibulan bulan ketiga keuntungannnya naik menjadi Rp. 8.000. Berapakah keuntungan diperoleh setelah 10 bulan berinvestasi? Dan berapakah jumlah total uang yang terkumpul setelah diinvestasikan selama 10 bulan?
Pembahasan;
Pada kondisi tersebut keuntungan setiap bulan nya yaitu kelipatan 2 dari bulan sebelumnya, jadi apabila dibentuk barisan, keuntungan tersebut akan menjadi barisan geometri yaitu Rp. 2.000, Rp. 4.000, Rp. 4.000, …., Un. Setelah 10 bulan keuntungannya akan menjadi;
Jadi keuntungan yang akan kita peroleh setelah berinvestasi selama 10 bulan yaitu Rp. 2.046.000 dan jumlah uang totalnya sebesar Rp. 10.000.000 + Rp. 2.046.000 = Rp12.046.000.
Demikianlah Sobat, sedikit materi mengenai baris dan deret yang dapat kami sampaikan. Semoga bermanfaat, dan sampai jumpa pada kesempatan yang lain 🙂 🙂 🙂