Hai sobat, bagaimana kabarmu hari ini, semoga sehat selalu dan tetap semangat belajar ya..!
Sobat, pada kesempatan yang lalu kita telah belajar mengenai Baris dan Deret, pada kesempatan ini kita akan meneruskan pelajaran kemarin, khususnya bab Deret Geometri. Untuk lebih jelasnya yuk simak pembahasannya…
Rina sedang bermain bola bekel, ia menjatuhkan bola dari meja yang tingginya 80 cm. Sudah pasti bola tersebut akan memantul dan perlahan lahan berhenti. Pantulan bola bekel Rina pada saat jatuh, tentunya lebih tinggi dibandingkan dengan pantulan bola yang ke-2 , pantulan bola ke-2 lebih tinggi dari yang ke-3 dan begitu seterusnya hingga bola berhenti.
Setelah diamati, ternyata pantulan bola tingginya ½ dari pantulan sebelumnya. Rina Semakin penasaran dengan dengan peristiwa ini. Kira kira berapakah panjang lintasan bola bekel dari awal memantul sampai berhenti memantul? yuk kita bantu rina menemukan jawabannya? bagaimanakah caranya?
Ternyata Rina dapat menentukan panjangnya lintasan bola bekel menggunakan deret geometri loh. Yuk kita bantu menghitung panjang lintasan bola bekelnya, tapi sebelum itu, kita kenalan dulu dengan deret geometri tak hingga..
Pengertian Deret Geometri Tak Hingga
Sebelum membantu Rina, kita harus mengetahui terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan deret geometri tak hingga itu.
Deret geometri tak hingga yaitu penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang jumlahnya tak terbatas. Deret geometri tak hingga bisa disombolkan dengan S∞ . Berikut ini merpakan contoh perumusan deret geometri tak hingga;
Jenis-jenis Deret Geometri Tak Hingga
Secara umum, jenis deret geometri dibagi menjadi dua yakni deret geometri tak hingga konvergen dan deret geometri tak hingga divergen. berikut uraiannya;
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Konvergen artinya memusat atau tidak tersebar. Deret geometri tak hingga konvergen artinya deret geometri masih mempunyai limit jumlah. Syarat pada deret geometri tak hingga konvergen yaitu rasio berada di antara -1 dan 1, yakni -1 < r < 1 atau |r| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dapat dirumuskan dengan;
Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Divergen yaitu menyebar. Deret geometri tak hingga divergen artinya deret geometri tak hingga yang jumlahnya tidak terbatas. Syarat geometri tak hingga divergen yaitu r < -1 atau r > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan dengan;
Setelah mengenal konsep dasar dari deret geometri tak hingga di atas. Apakah sobat sudah siap untuk membantu Rina menghitung panjang lintasan bola bekel nya? jika sudah siap , ayo kita mulai..
Ayo, Kita Bantu Rina!
“Hemm.. Rina iseng banget nih, kenapa juga ia menjatuhkan bola dari atas meja?” eh, jangan berpikir seperti itu dulu ya, siapa tahu dengan membantu Rina pemahaman sobat mengenai deret geometri tak hingga menjadi semakin baik. daripada panjang lebar. yuk kita coba tentukan dahulu besaran apa saja yang diketahui.
Diketahui;
Tinggi meja martina kita umpamakan sebagai a = 80 cm
Rasio Pantulan = ½,
Ditanya : S∞ =….?
Pembahasan;
Kira-kira barisan yang terbentuk dari pantulan bola bekel milik Rina termasuk konvergen atau divergen ya?
Untuk mengetahuinya, kita dapat mengecek rasionya seperti berikut;
r = ½ = 0,5
Rasio 0,5 merupakan syarat untuk terbentuknya deret geometri tak hingga konvergen. Selain itu kita juga harus memperhatikan bahwa tertulis kata berhenti, apakah maknanya?. Artinya bola tidak lagi memantul. Setelah bola berhenti maka tidak akan tercipta lintasan baru yang terbentuk.
Pada kondisi seperti ini, maka kita akan mengalami kesulitan untuk menentukan berapa kali bola akan memantul hingga akhirnya dapat berhenti. Hal yang dapat kita tentukan yaitu panjang lintasan bola mulai awal jatuh menyentuh lantai sampai berhenti. Untuk itu kita dapat menggunakan persamaan;
keterangan;
a : tinggi pantulan awalnya yakni 80 cm
r : rasio = 0,5,
Tinggi pantulan ke-2 : ½ x 80 = 40
Tinggi pantulan ke-3 : ½ x 40 = 20
Tinggi pantulan ke-4 : ½ x 20 = 10
Apabila digambarkan, maka akan nampak seperti berikut ini;
Sebelum menghitung panjang lintasan bola, maka kita harus mengetahui bahwa setiap lintasan akan dilewati dua kali, kecuali lintasan yang awal.
80, 40, 40, 20, 20, 10, 10,…
Jadi dengan begitu, S∞ dibedakan menjadi S∞ suku ganjil dan genap. Suku ganjilnya dimulai dari a = 80 cm, sedangkan suku genapnya dimulai dari a = 40.
Untuk suku ganjilnya yaitu;
Sedangkan suku genap nya;
Sehingga panjang lintasan bola bekel Rina totalnya yakni 240 cm
Hore.. akhirnya kita tahu berapa panjang lintasan yang ditempuh oleh bola bekel Rina, mulai awal memantul hingga berhenti.
Nah tidak hanya cukup disitu sobat kita juga bisa menyimak contoh soal lain yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga, seperti berikut ini;
Contoh 1
Perhatikanlah sebuah gambar berikut;
Pada gambar di atas, sebuah persegi ABCD di dalamnya terdapat persegi-persegi lain yang secara terus-menerus,yang empat titik sudutnya diambil dari titik tengah persegi sebelumnya. Tentukanlah jumlah luas persegi yang terbentuk?
Pembahasannya;
Pertama, kita perhatikan terlebih dahulu persegi pertama dan persegi kedua berikut;
Kemudian kita nyatakan luas totalnya sebagai L. Luas total (L) dirumuskan dengan;
Kemudian kita tentukan luas persegi ABCD;
LABCD = 4 x 4
= 16 cm2
Luas total persegi yakni;
Jadi luas persegi yang terbentuk yaitu 32 cm2
Contoh 2
Jadi, supaya deretnya nya bisa menjadi konvergen, maka syaratnya yaitu x > 2 atau x < 0
Demikianlah sobat, sedikit materi mengenai deret geometri tak hingga yang dapat kami sampaikan. Semoga bermanfaat, dan sampai jumpa pada kesempatan yang lain 🙂 🙂 🙂