Hai sobat, Bagaimana kabarmu hari ini? Semoga kalian senantiasa dalam keadaan sehat dan tetap semangat untuk belajar yah..
Oh ya, pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai ” Teori dan konsep dasar pada polinomial (Suku Banyak)”. Sedikit atau banyak, sobat tentu sudah mengerti persamaan kuadrat bukan?. Contoh bentuk umum dari persamaan kuadrat misalnya ac2 + bc + d = 0.
Untuk menentukan unsur-unsur pada persamaan kuadrat, bisa kita peroleh dengan menggunakan metode pemfaktoran, kuadrat sempurna, dsb. Sehingga diperoleh unsur semisal (ac + b)(bc + d)=0.
Lalu, bagaimanakah cara untuk menentukan suku-suku pada persamaan yang mempunyai pangkat lebih dari 2 seperti pada ac3+bc2+dc+e =0?. Untuk menentukannya maka dikenal dengan sistem persamaan polinomial (suku banyak). Adapun metode yang digunakan untuk menentukan suku-suku pada persamaan polinomial bisa dilakukan menggunakan metode, substitusi, horner, dsb…
Untuk lebih jelasnya yuk simak uraian berikut…
Pengertian Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial yaitu sistem persamaan dengan pangkat tertingginya > 2 (lebih besar dari 2)
Berikut ini adalah contoh Bentuk umum dari polinomial;
Pada polinomial dikenal beberapa istilah yakni;
- Derajat (n), yaitu pangkat tertinggi pada suatu suku banyak
- Variabel (x), yaitu bilangan yang di umpamakan sebagai huruf semisal x
- koefisien (a), yaitu bilangan yang mengikuti variabel
adapun contoh persamaan polinomial yakni 4x3+3x2+2x=12.
Operasi Suku Banyak
Beberapa operasi yang ada pada sistem polinomial diantaranya yaitu Operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi dan Operasi perkalian.
Teoremanya yakni jika f(x) dan g(x) secara berurutan adalah suku banyak dengan derajat m dan n, maka
- f(x) ± g(x) adalah suku banyak dengan derajat maksimum m atau n,
- f(x) x g(x) adalah suku banyak dengan derajat maksimum (m + n).
Berikut contohnya;
a. Penjumlahan
b. Pengurangan
Kesamaan Suku Banyak
Apabila terdapat dua suku banyak, seperti berikut;
Suku banyak pertama
Suku banyak kedua
Agar f(x) ≡ g(x) maka semestinya an= bn, an-1= bn-1, ….. a1= b1
f(x) ≡ g(x) disebut sebagai kesamaan polinomial
dari dua buah sistem persamaan polinomial dijuluki memiliki kesamaan apabila keduanya;
- Mempunyai derajat yang sama
- Mempunyai variabel dan koefisien yang sama letaknya baik di antara polinomial ruas kiri maupun kanan
Perlu diingat bahwa, pada kesamaan polinomial tidak berlaku perpindahan ruas ataupun perkalian silang seperti pada aljabar.
Contoh Soal Kesamaan Polinomial
Jika a dan β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+bx2+c=0. Tentukanlah hasil dari α + β dan α.β
Penyelesaian;
Pembagian Suku Banyak
Sebuah Fungsi suku banyak dapat dibagi dengan fungsi yang lainnya. Caranya yakni dengan membaginya secara bersusun dan menggunakan metode horner (bagan).
Seperti Berikut;
1). Pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun
Misalnya, sebuah suku banyak fx= a2x2+a1x+ a0 dibagi dengan (x-k) sehingga diperoleh hasil baginya yaitu H(x) dan sisa S.
Sehingga didapati hubungannya;
Untuk mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa S. Cara pembagian suku banyaknya dilakukan secar bersusun seperti berikut;
Sehingga diperoleh hasil baginya yakni H(x) = a2x + a2k + a1 (bagian atas) dan sisanya S = a0+ a1k + a2k2 (bagian bawah).
2). Pembagian suku banyak dengan metode horner
Aturan untuk membagi suku banyak dengan metode horner yakni;
- Meletakkan semua koefisien secara berurutan mulai derajat tertinggi hingga nol pada bagian atas. Jika terdapat suku banyak yang tidak ada seperti pada persamaan : 2x4 + 3x2-5x-9 = 0. maka untuk koefisien pangkat x3 bisa ditulis dengan 0, kemudian
- Meletakkan faktor pengali pada samping kiri,
- Baris yang letaknya ada disebelah kiri merupakan hasil bagi, sedangkan bagian sebelah kanan merupakan sisa, jika dituliskan yakni sperti berikut;
Berikut ini adalah proses pembagian pada metode horner;
Contoh Soal Pembagian Suku Banyak
Tentukanlah hasil dari 4x5+3x3-6x2-5x+1 dibagi dengan 2x-1 menggunakan metode pembagian bersusun dan metode horner!
Jawabannya:
a. Pembagian menggunakan metode pembagian bersusun:
b. Pembagian menggunakan metode horner:
Jadi, membagi menggunakan dua metode diatas, hasil bagi dan sisa yang diperoleh adalah sama, yakni 2x4+x3+2x2-2x-7/2 dan sisanya = -5/2
lanjut ke…
Teorema Sisa (Dalil Sisa)
Teorema Sisa dipakai untuk mencari nilai sisa pembagian pada suatu suku banyak tanpa mengetahui suku banyak dan hasil baginya.
Bentuk Umum dari teorema sisa yakni;
Keterangan:
F(x) = Suku banyak,
P(x) = Pembagi suku banyak,
H(x) = Hasil bagi suku banyak,
S(x) = sisa suku banyak
Apabila F(x) suku banyak dengan derajat n, dan P(x) pembagi dengan derajat m, dan m ≤ n. maka diperoleh;
- H(x) yaitu Hasil bagi berderajat (n-m), dan
- S(x) yaitu sisa pembagian berderajat maksimum (m-1).
Syarat membagi dengan teorema sisa ada dua yakni;
a. Pembagian dengan (x-k)
Teorema sisa bagian 1 :”Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) Sisanya S= f(k),Sisa S= f(k) merupakan nilai suku banyak x=k yang bisa ditentukan menggunakan strategi substitusi atau strategi skema (bagan)“.
b. Pembagian dengan (ax+b)
Contoh soal Teorema Sisa
Tentukanlah sisa pembagi suku banyak dari 8x3-2x2+5 dengan (x+2)
Jawabannya:
a. Memakai cara substitusi
b. Memakai Skema (bagan) dengan pembagian (x-k)
Jadi, sisanya yaitu S =f(-2) = -67
Teorema Faktor
Teorema faktor digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional pada sistem persamaan suku banyak yang menggunakan metode horner.
Konsep yang berlaku pada teorema faktor yakni;
- Apabila P(x) habis dibagi q(x) atau bersisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x)
- Apabila P(x) =f(x).g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x)
Contoh soal Teorema Faktor
JIka salah satu akar dari f(x) = x4+ mx3-6x2+7x-6 adalah 2, carilah akar linear yang lainnya!
Pembahasannya;
Pertama, kita tentukan terlebih dahulu nilai m dengan metode substitusi polinomial f(2)=0, karena 2 merupakan salah satu akar dari f(x), sehingga diperoleh;
Setelah itu, gunakan metode horner untuk mencari faktor akar lainnya;
jadi, faktor (x) yang lainnya yaitu (x-2), (x+3), dan (x2-x+1), dan faktor lain dari akar linearnya adalah -3
Demikianlah sobat, Sedikit materi mengenai polinomial yang dapat kami sampaikan.
Semoga bermanfaat, dan sampai jumpa pada kesempatan yang lain :):):)