Halo guys, apa kabarmu hari ini? Semoga tetap sehat dan tetap semangat ya… Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar matematika lagi guys. Pembelajaran kali ini mengenai persamaan trigonometri matematika peminatan. Langsung saja kita simak penjelasannya.
Contents
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat beberapa fungsi trigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui. Berdasarkan bentuknya, persamaan trigonometri dibedakan menjadi :
1. Persamaan Trigonometri Bentuk Sederhana
- Jika sin x = sin a, maka himpunan penyelesaiannya : x = a° + k . 360° dan x = (180° – a°) + k . 360°
- Jika cos x = cos a, maka himpunan penyelesaiannya : x = a° + k . 360° dan x = (-a°) + k . 360°
- Jika tan x = tan a, maka himpunan penyelesaiannya : x = a + k . 180°, dengan k adalah bilangan bulat.
Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian sin x = 1/2 √3 untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360° !
Penyelesaian :
sin x = 1/2 √3, untuk 0 ≤ x ≤ 360°
sin x = sin 60°, maka berlaku :
(i) x = 60° + k . 360°
- k = 0 → x = 60° + 0 . 360° = 60°
- k = 1 → x = 60° + 1 . 360° = 420° (tidak memenuhi syarat)
(ii) x = (180° – 60°) + k . 360°
- k = 0 → x = (180° – 60°) + 0 . 360° = 120°
- k = 1 → x = (180° – 60°) + 1 . 360° = 480° (tidak memenuhi syarat)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {60°, 120°}
2. Tentukan himpunan penyelesaian cos x = 1/2 untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
Penyelesaian :
cos x = 1/2, dengan syarat 0 ≤ x ≤ 360°
cos x = cos 60°, maka :
(i) x = 60° + k . 360°
- k = 0 → x = 60° + 0 . 360° = 60°
- k = 1 → x = 60° + 1 . 360° = 420° (tidak memenuhi syarat)
(ii) x = (-60°) + k . 360°
- k = 0 → x = -60° + 0 . 360° = -60° (tidak memenuhi)
- k = 1 → x = -60° + 1 . 360° = 300°
- k = 2 → x = -60° + 2 . 360° = 660° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {60°, 300°}
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari tan x = 1/3 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
Penyelesaian :
tan x = 1/3 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 360°
tan x = tan 30°, maka x = 30° + k . 180°
- k = 0 → x = 30° + 0 . 180° = 30°
- k = 1 → x = 30° + 1 . 180° = 210°
- k = 2 → x = 30° + 2 . 180° = 390° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 210°}
2. Persamaan Bentuk sin px = a, cos px = a, dan tan px = a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin px = a, cos px = a, dan tan px = a, dengan p dan a merupakan konstanta, persamaan harus diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk dasar persamaan trigonometri.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
a. 2 sin 2x = √3
b. cos 2x = 1/2
c. √3 tan 3x = -1
Penyelesaian :
a. 2 sin 2x = √3
⇔ sin 2x = 1/2 √3
⇔ sin 2x = sin 60°
Diperoleh :
(i) 2x = 60° + k . 360°
⇔ x = 60°/2 + k . 360°/2
⇔ x = 30° + k . 180°
- k = 0 → x = 30° + 0 . 180° = 30°
- k = 1 → x = 30° + 1 . 180° = 210°
- k = 2 → x = 30° + 2 . 180° = 390° (tidak memenuhi)
(ii) 2x = (180° – 60°) + k . 360°
⇔ 2x = 120° + k . 360°
⇔ x = 60° + k . 180°
- k = 0 → x = 60° + 0 . 180° = 60°
- k = 1 → x = 60° + 1 . 180° = 240°
- k = 2 → x = 60° + 2 . 180° = 420° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 60°, 210°, 240°}
b. cos 2x = 1/2
⇔ cos 2x = cos 60°
Diperoleh :
(i) 2x = 60° + k . 360°
⇔ x = 30° + k . 180°
- k = 0 → x = 30° + 0 . 180° = 30°
- k = 1 → x = 30° + 1 . 180° = 210°
- k = 2 → x = 30° + 2 . 180° = 390° (tidak memenuhi)
(ii) 2x = -60° + k . 360°
⇔ x = -30° + k . 180°
- k = 0 → x = -30° + 0 . 180° = -30° (tidak memenuhi)
- k = 1 → x = -30° + 1 . 180° = 150°
- k = 2 → x = -30° + 2 . 180° = 330°
- k = 3 → x = -30° + 3 . 180° = 510° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {30°, 150°, 210°, 330°}
c. √3 tan 3x = -1
⇔ tan 3x = – 1/3 √3
⇔ tan 3x = tan 150°
Diperoleh :
3x = 150° + k . 180°
⇔ x = 150°/3 + k . 180°/3
⇔ x = 50° + k . 60°
- k = 0 → x = 50° + 0 . 60° = 50°
- k = 1 → x = 50° + 1 . 60° = 110°
- k = 2 → x = 50° + 2 . 60° = 170°
- k = 3 → x = 50° + 3 . 60° = 230°
- k = 4 → x = 50° + 4 . 60° = 290°
- k = 5 → x = 50° + 5 . 60° = 350°
- k = 6 → x = 50° + 6 . 60° = 410° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50°, 110°, 170°, 230°, 290°, 350°}
3. Persamaan Bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin (x + b) = c
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk cos (x + a) + cos (x + b) = c dan sin (x + a) + sin (x + b) = c, kita ingat kembali rumus-rumus ini.
- cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A . cos B
- cos (A + B) – cos (A – B) = 2 sin A . sin B
- sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A . cos B
- sin (A + B) – sin (A – B) = 2 cos A . sin B
Contoh :
Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini, untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
a. sin (60° + x) – sin (60° – x) = 1
b. sin 5x – sin x = 0
Penyelesaian :
a. sin (60° + x) – sin (60° – x) = 1
⇔ 2 cos 60° sin x = 1
⇔ 2 . 1/2 sin x = 1
⇔ sin x = 1
⇔ sin x = sin 90°
Diperoleh :
(i) x = 90° + k . 360°
- k = 0 → x = 90° + 0 . 360° = 90°
- k = 1 → x = 90° + 1 . 360° = 450° (tidak memenuhi)
(ii) x = (180° – 90°) + k . 360°
⇔ x = 90° + k . 360°
- k = 0 → x = 90° + 0 . 360° = 90°
- k = 1 → x = 90° + 1 . 360° = 450° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°}
b. sin 5x – sin x = 0
⇔ sin (3x + 2x) – sin (3x – 2x) = 0
⇔ 2 cos 3x . sin 2x = 0
⇔ cos 3x = 0 atau sin 2x = 0
Untuk cos 3x = 0
⇔ cos 3x = cos 90°
Diperoleh :
(i) 3x = 90° + k . 360°
⇔ x = 30° + k . 120°
- k = 0 → x = 30° + 0 . 120° = 30°
- k = 1 → x = 30° + 1 . 120° = 150°
- k = 2 → x = 30° + 2 . 120° = 270°
- k = 3 → x = 30° + 3 . 120° = 390° (tidak memenuhi)
(ii) 3x = -90° + k . 360°
⇔ x = –30° + k . 120°
- k = 0 → x = –30° + 0 . 120° = –30° (tidak memenuhi)
- k = 1 → x = –30° + 1 . 120° = 90°
- k = 2 → x = –30° + 2 . 120° = 210°
- k = 3 → x = –30° + 3 . 120° = 330°
- k = 4 → x = –30° + 4 . 120° = 450° (tidak memenuhi)
Untuk sin 2x = 0
⇔ sin 2x = sin 0
Diperoleh :
(i) 2x = 0° + k . 360°
⇔ x = k . 180°
- k = 0 → x = 0 . 180° = 0°
- k = 1 → x = 1 . 180° = 180°
- k = 2 → x = 2 . 180° = 360°
- k = 3 → x = 3 . 180° = 540° (tidak memenuhi)
(ii) 2x = (180° – 0) + k . 360°
⇔ 2x = 180° + k . 360°
⇔ x = 90° + k . 180°
- k = 0 → x = 90° + 0 . 180° = 90°
- k = 1 → x = 90° + 1 . 180° = 270°
- k = 2 → x = 90° + 2 . 180° = 450° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya {0°, 30°, 90°, 150°, 180°, 210°, 270°, 330°, 360°}
4. Persamaan Trigonometri Bentuk a cos x + b sin x = c
Untuk menyelesaikan persamaan a cos x + b sin x = c, maka persamaan tersebut harus diubah ke bentuk :
k cos (x – α) = c dengan k = √a² + b²
tan α = b/a → α = arc tan b/a
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan cos x – sin x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
Penyelesaian :
Diketahui cos x – sin x = 1. Berdasarkan persamaan a cos x + b sin x = c, maka a = 1, b = -1, dan c = 1
Nilai k = √a² + b² = √1² + (-1)² = √1 + 1 = √2
tan α = b/a → tan α = (-1)/1 = -1 ( kuadran ke IV), maka α = 315°
Diperoleh k cos (x – α) = c
⇔ √2 . cos (x – 315°) = 1
⇔ cos x – sin x = 1/√2
⇔ cos (x – 315°) = cos 45°, maka :
(i) x – 315° = 45° + k . 360°
⇔ x = 360° + k . 360°
- k = 0 → x = 360° + 0 . 360° = 360°
- k = 1 → x = 360° + 1 . 360° = 720° (tidak memenuhi)
(ii) x – 315° = -45° + k . 360°
⇔ x = 270° + k . 360°
- k = 0 → x = 270° + 0 . 360° = 270°
- k = 1 → x = 270° + 1 . 360° = 630° (tidak memenuhi)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {270°,360°}
5. Persamaan Kuadrat dalam Sin, Cos, dan Tan
Untuk mencari himpunan penyelesaian dari bentuk persamaan kuadrat trigonometri, bentuk trigonometri (sin, cos, tan) harus dimisalkan lebih dulu dengan suatu peubah tertentu. Bentuk persamaan kuadrat dalam bentuk peubah diselesaikan sesuai dengan rumus dasar untuk memperoleh akar-akar penyelesaiannya.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin² x + sin x – 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° !
Penyelesaian :
Diketahui sin² x + sin x – 2 = 0
Dimisalkan sin x = p, maka :
⇔ p2 + p – 2 = 0
⇔ (p + 2)(p – 1) = 0
⇔ (p + 2) = 0 atau (p – 1) = 0
⇔ p = –2 atau p = 1
- p = –2 → sin x = –2 (tidak mungkin, karena –1 ≤ sin x ≤ 1, jadi tidak memenuhi)
- p = 1 → sin x = 1 ⇔ sin x = sin 90°
Diperoleh :
(i) x = 90° + k . 360°
- k = 0 → x = 90° + 0 . 360° = 90°
- k = 1 → x = 90° + 1 ⋅ 360° = 450° (tidak memenuhi)
(ii) x = 180° – 90° + k . 360°
⇔ x = 90° + k ⋅ 360°
- k = 0 → x = 90° + 0 . 360° = 90°
Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°}
Demikian pembelajaran hari ini, semoga dapat menambah ilmu, wawasan, dan pengetahuan yang bermanfaat. Terima kasih sudah berkunjung di RumusHitung.com.
Artikel lain :