RumusHitung.com – Halo sobat, bagaimana kabar kalian? Semoga tetap semangat dan tetap sehat walau dirumah ya.. Pada kesempatan ini, rumushitung akan memberikan cara penyelesaian SPLTV menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Apa sih kepanjangan dari SPLTV itu? SPLTV singkatan dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. SPLTV merupakan sistem persamaan linear yang mempunyai jumlah 3 variabel (ax + by + cz). Bisa kita bedakan dengan SPLDV (Sistem Persamaan Dua Variabel), kalau SPLDV itu persamaan linear yang mempunyai 2 variabel (ax + by). Untuk penyelesaian SPLTV dan SPLDV itu sama, yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi. Namun, kita akan bahas SPLTV saja dalam menentukan penyelesaian dengan metode eliminasi. Langsung saja kita mulai pembahasannya.
Metode Eliminasi SPLTV
Seperti yang kita ketahui bahwa metode eliminasi merupakan metode menghilangkan salah satu atau seluruh variabel masing – masing dari dua atau lebih persamaan linear.
Misalnya, ada 2 persamaan :
- 3x + 2y + 6z = 2 → (persamaan 1)
- 5x + 3y + z = 1 → (persamaan 2)
Cara eliminasinya dengan menghilangkan salah satu variabel (x, y, atau z) dari masing – masing persamaan tersebut.
Jika kita ingin mengeliminasi variabel y, maka koefisien dari variabel y harus disesuaikan supaya koefisiennya sama. Bisa dilihat pada contoh di bawah :
- 3x + 2y + 6z = 2 | x 3 | → (3x . 3) + (2y . 3) + (6z . 3) = (2 . 3)
- 5x + 3y + z = 1 | x 2 | → (5x . 2) + (3y . 2) + (z . 2) = (1 . 2)
Sehingga, persamaannya menjadi :
- (3x . 3) + (2y . 3) + (6z . 3) = (2 . 3) → 9x + 6y + 18z = 6
- (5x . 2) + (3y . 2) + (z . 2) = (1 . 2) → 10x + 6y + 2z = 2
Dari contoh di atas menunjukkan variabel y dari masing – masing persamaan memiliki koefisien yang sama, yaitu 6. Cara mengeliminasi variabel y pada kedua persamaan tersebut, harus dibuat operasi pengurangan.
- 9x + 6y + 18z = 6
- 10x + 6y + 2z = 2 _
- (-x) + 0 + 16z = 4 → (-x) + 16z = 4
Dari contoh eliminasi di atas, bisa kita pahami bahwa koefisien variabel y telah dieliminasi (dihilangkan). Jadi, hasilnya adalah (-x) + 16z = 4.
Jika terdapat soal dengan mencari hasil dari variabel x, y, z, atau variabel lainnya, bisa menggunakan metode eliminasi.
Contoh soal metode eliminasi
- 3x + y – 2z = 9
- 2x + 2y + z = 3
- x – 4y – 12z = 0
Carilah x, y, dan z pada persamaan di atas !
Penyelesaian :
- 3x + y – 2z = 9 → (persamaan 1)
- 2x + 2y + z = 3 → (persamaan 2)
- x – 4y – 12z = 0 → (persamaan 3)
a. Eliminasi z persamaan 1 dan 2 :
- 3x + y – 2z = 9 | x 1 | → 3x + y – 2z = 9
- 2x + 2y + z = 3 | x 2 | → 4x + 4y + 2z = 6
Hasil persamaan 1 dan 2 dalam eliminasi z :
- 3x + y – 2z = 9
- 4x + 4y + 2z = 6 + (jika koefisien negatif dan positif, gunakan penjumlahan)
- 7x + 5y + 0 = 15 → 7x + 5y = 15 → (persamaan 4)
b. Eliminasi z persamaan 1 dan 3 :
- 3x + y – 2z = 9 | x 6 | → 18x + 6y – 12z = 54
- x – 4y – 12z = 0 | x 1 | → x – 4y – 12z = 0
Hasil persamaan 1 dan 3 dalam eliminasi z :
- 18x + 6y – 12z = 54
- x – 4y – 12z = 0 _ (jika koefisien keduanya negatif, gunakan pengurangan)
- 17x + 10y + 0 = 54 → 17x + 10y = 54 → (persamaan 5)
c. Eliminasi y persamaan 4 dan 5 :
- 7x + 5y = 15 | x 2 | → 14x + 10y = 30
- 17x + 10y = 54 | x 1 | → 17x + 10y = 54
Hasil persamaan 4 dan 5 dalam eliminasi y :
- 14x + 10y = 30
- 17x + 10y = 54 _ (jika keduanya positif, gunakan pengurangan)
- (-3x) + 0 = -24
- (-3x) = -24
- x = (-24)/(-3)
- x = 8
d. Disubstitusikan ke dalam persamaan 4 :
x = 8
- 7x + 5y = 15
- 7(8) + 5y = 15
- 56 + 5y = 15
- 5y = 15 – 56 → (pindah ruas)
- 5y = -41
- y = -41/5
e. Disubstitusikan ke dalam persamaan 3 :
x = 8
y = -41/5
- x – 4y -12z = 0
- 8 – 4(-41/5) – 12z = 0
- 8 + 84/5 – 12z = 0
- 8 + 84/5 = 12z → (pindah ruas)
- 8(5/5) + 84/5 = 12z
- 40/5 + 84/5 = 12z → (dibuat pecahan dengan menyamakan penyebutnya)
- 124/5 = 12z
- 12z = 124/5 → (dibalik)
- z = 124/(5 . 12)
- z = 124/60 → (disederhanakan angkanya dengan masing-masing dibagi 4)
- z = 31/15
Jadi, hasil x, y, dan z adalah :
- x = 8
- y = -41/5
- z = 31/15
Demikian pembahasan tentang cara menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi kita akhiri sampai disini. Semoga penjelasan dari rumushitung dapat memudahkan kalian dalam mengerjakan soal yang berkaitan dengan materi ini. Dan semoga dengan penjelasan ini dapat menambah ilmu pengetahuan kalian dalam menghitung matematika. Sekian terima kasih dan sampai jumpa lagi.