RumusHitung.Com

RumusHitung.com – Halo guys, kali ini rumushitung akan memberikan rumus-rumus matematika lengkap untuk SMP kelas 8. Jadi, sobat bisa pelajari disini karena sudah dirangkum agar sobat bisa mempelajarinya dengan mudah.

---

BAB 1
FAKTORISASI SUKU ALJABAR

A. Pengertian Variabel, Konstanta, Koefisien, dan Suku

1. Variabel

ialah lambang pengganti pada sebuah bilangan yang belum diketahui nilainya, atau bisa disebut peubah. Lambang dari variabel bermacam-macam tergantung keinginan, biasanya yang sering digunakan ialah huruf kecil seperti (a, b, c, d, e, …., p, q, r, …., x, y, z, …..)

Contoh :
a. Tentukan x dari penjumlahan 2x + 3 = 7
2x + 3 = 7
2x = 7 – 3
2x = 4
x = 4/2
x = 2
(x adalah variabel atau peubah untuk menentukan nilai yang belum diketahui)
b. Suatu bilangan apabila dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12.
Misalnya, bilangan tersebut x, maka 5x – 3 = 12

2. Konstanta

Adalah suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan atau tidak mamuat variabel.

Contoh :
Dari persamaan x² + 3x – 7 = 0, mana yang merupakan konstanta ?
Konstantanya adalah -7, karena tidak memuat variabel

3. Koefisien

Adalah faktor konstanta dari suku pada bentuk aljabar.

Contoh :
Koefisien x dari 3x³y – 4x + 12 adalah….
Koefisiennya adalah -4
Koefisien dari 4y + 8 + y² adalah….
Koefisiennya adalah 4

4. Suku

ialah gabungan dari variabel, koefisien, atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi penjumlahan atau pengurangan.

• Suku satu ialah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan pada operasi penjumlahan atau pengurangan.
  Contoh : (3x, 4b³, -5ab, …..)
• Suku dua ialah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh salah satu operasi penjumlahan atau pengurangan.
  Contoh : (x + 3, 6x² – 2y, a + 4b, ….)
• Suku tiga ialah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi penjumlahan atau selisih.
  Contoh : (x³ + 3x + 3, 2x + 5y – 1, ….)

Sedangkan bentuk aljabar yang memiliki lebih dari dua suku dinamakan suku banyak atau polinom.

B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Pada penjumlahan dan pengurangan, terdapat suku yang mempunyai variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama yang disebut suku-suku sejenis. Jika terdapat suku yang memiliki variabel atau pangkat tidak sama, maka itu ialah suku-suku tidak sejenis.

Hubungannya ialah dalam menentukan hasil operasi penjumlahan atau pengurangan pada suku, harus memiliki variabel atau pangkat yang sama.

Contoh :
(6x² + x + 5) + (x² + 2x – 3) = ….
= (6x² + x²) + (x + 2x) + (5 – 3)
= 7x² + 3x + 2

2. Perkalian

a. Perkalian suatu bilangan bentuk aljabar

k(ax + b) = kax + kb)

Contoh :
2(3x – y) = ….

b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar

Sifat distributif bisa juga digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.

Contoh :
(x + 4)(x + 3) = …..
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= x² + 3x + 4x + 12
= x² + 7x + 12

(2x + 3)(x² + x – 2) = ….
= 2x(x² + x – 2) + 3(x² + x – 2)
= (2x³ + 2x – 4) + (3x² + 3x – 6)
= 2x³ + 3x² + 2x + 3x – 4 – 6
= 2x³ + 3x² + 5x – 10

3. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Contoh :

Untuk menentukan perpangkatan bentuk aljabar suku dua :

4. Pembagian

Contoh :

C. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Perhatikan uraian berikut !

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
48 = 2⁴ x 3
Bilangan 2⁴dan 3 ialah faktor dari 48.

Pemfaktoran bentuk aljabar ialah bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut.

1. Bentuk ax + ay + az + … dan ax + bx -cx

Contoh :

2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x² + y²

Bentuk aljabar terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat.

x² – y² = x² + (xy – xy) – y²
x² – y² = (x² + xy) – (xy + y²)
x² – y² = x(x + y) – y( x + y)
x² – y² = (x – y)(x + y)

Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x² – y² adalah :

x² – y² = (x – y)(x + y)

Contoh :

3. Bentuk x² + 2xy + y² dan x² – 2xy + y²

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x² + 2xy + y² dan x² – 2xy + y² bisa diuraikan di bawah ini :

Dapat disimpulkan bahwa :

x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y) = (x + y)²
x² – 2xy + y² = (x – y)(x – y) = (x – y)²

Contoh :

4. Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

(x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6
(x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6

Jika sebaliknya, bentuk suku tiga x² + 5x + 6 difaktorkan menjadi :

Contoh :
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar ax² + bx + c dengan c positif :
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.

5. Bentuk ax² bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0

Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 x 8 = 12 x 6

Ada 2 cara menentukan pemfaktoran bentuk aljabar ax² bx + c dengan a ≠ 1 :

• Menggunakan sifat distributif
  
• Menggunakan rumus
  

Contoh :
Tentukan pemfaktoran dari 3x² + 14x + 15 = ….

D. Operasi pada Pecahan Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Contoh :

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar

Dengan cara yang sama, bisa ditentukan hasil perkalian antara dua pecahan aljabar. Sedangkan pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan mengubah bentuk pembagian menjadi perkalian dengan cara mengalikan dengan kebalikan pada pecahan pembagi.

Contoh :
Perkalian

Pembagian

3. Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Menyederhanakan pecahan aljabar bisa dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.

Contoh :

4. Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)

Pecahan bersusun (kompleks) ialah suatu pecahan yang pembilang atau penyebutnya masih mengandung pecahan. Untuk menyederhanakannya, dengan cara menyamakan penyebutnya dengan mengalikannya. Kemudian pembilangnya juga dikalikan dengan perkalian yang sama dengan penyebutnya.

Contoh :

---

BAB 2
FUNGSI

A. Relasi

1. Pengertian relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B ialah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himounan A dengan Anggota-anggota himpunan B.

2. Cara Menyajikan Suatu Relasi

Suatu relasi bisa dinyatakan dalam 3 cara, yaitu :

a. Dengan diagram panah

Dari gambar di atas menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah.

b. Dengan diagram Cartesius

Dari gambar di atas menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari himpunan A ke himpunan B dengan diagram Cartesius.

c. Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel di atas sebagai berikut.

{(Buyung, IPS); (Buyung, kesenian); (Doni, keterampilan); (Doni, olahraga); (Vita, IPA); (Putri, matematika); (Putri, bahasa Inggris)}

Contoh :

B. Fungsi Atau Pemetaan

Pada gambar diagram panah menunjukkan relasi berat badan dari data pada tabel.

Dari diagram panah di atas dapat diketahui hal-hal berikut :

• Setiap siswa memiliki berat badan.
  Hal tersebut bahwa setiap anggota A memiliki kawan atau pasangan dengan anggota B.
• Setiap siswa memiliki tepat satu berat badan.
  Hal tersebut bahwa setiap anggota A memiliki tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.

Syarat suatu relasi, yaitu :

• setiap anggota A memiliki pasangan pada anggota B
• Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

Contoh :
Perhatikan diagram panah di bawah !

Penyelesaian :

1. Notasi dan Nilai Fungsi

f : x → y atau f : x → f(x)

Contoh :
Perhatikan diagram panah berikut !

a. Tentukan :
(i) domain
(ii) kodomain
(iii) range
(iv) bayangan dari 1, 2, 3, 4, dan 5

b. Diketahui fungsi f didefinisikan f(x) = 2x² – 3 + 1.
Tentukan :
(i) x = 2
(ii) x = -3

Penyelesaian :

2. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f : A → B ditentukan dengan f(x) = x – 2, maka :

f(1) = 1 – 2 = -1
f(3) = 3 – 2 = 1
f(5) = 5 – 2 = 3

a. Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut.

b. Diagram Cartesius dari fungsi f tersebut.

c. Himpunan pasangan beurutan dari fungsi f tersebut ialah {(1, -1); (3, 1); (5, 3)}.

3. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan :

• Jika A = {1} dan B = {a}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 1
  
• Jika A = {1, 2} dan B = {a}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 1
  
• Jika A = {1} dan B = {a, b}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 2
  
• Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 1
  
• Jika A = {1} dan B = {a, b, c}, maka n(A) = 1 dan n(B) = 3
  
• Jika A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka n(A) = 2 dan n(B) = 2
  
• Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka n(A) = 3 dan n(B) = 2
  

Contoh :
Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, tentukan banyaknya pemetaan :
a. Dari A ke B
b. Dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya

C. Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya Diketahui

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x → ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel, maka rumus fungsinya ialah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = p, maka nilai f(p) = ap + b.

Contoh :
Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = -5 dan f(-2) = -9. Tentukan bentuk fungsi f(x) !

BAB 3
PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Persamaan Garis (1)

y = mx + c, dengan m, c adalah suatu konstanta

1. Penggambaran Grafik Persamaan Garis Lurus y = mx + c pada Bidang Cartesius

Contoh :
Buatlah grafik persamaan garis lurus 2x + 3y = 6 pada bidang Cartesius apabila x, y variabel pada himpunan bilangan riil.

2. Menyatakan Persamaan Garis Jika Grafiknya Dketahui

a. Persamaan garis y = mx

Karena titik (0, 0) dan (4, 2) terletak pada garis tersebut, maka didapat :

Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus pada gambar di bawah !

b. Persamaan garis y = mx + c

Dari gambar di atas, misalkan persamaan garis l ialah y = mx + c. Karena garis l melalui titik (0, 3), maka berlaku :
3 = m(0) + c
3 = c atau c = 3

Karena garis l melalui (4, 6), maka berlaku :
6 = m(4) + c
6 = 4m + 3
4m = 6 – 3
4m = 3
m = 3/4
Jadi, persamaan garis l yang sejajar dengan garis k ialah y = mx + c atau y = 3/4x + 3

Maka, kita bisa menentukan persamaan suatu garis l dengan memperhatikan :

• Titik potong garis l dengan sumbu Y
• Persamaan garis sejajar dengan garis l dan melalui titik (0, 0)

Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx ialah y = mx + c

B. Gradien

Gradien ialah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen x dan y.

1. Gradien Suatu Garis yang Melalui Titik Pusat O(0, 0) dan Titik (x, y)

Ruas garis OA pada segitiga OAA’

Ruas garis OB pada segitiga OBB’

Ruas garis AB pada segitiga ABC

Perhatikan gambar dibawah :

Ruas garis PQ pada segitiga PP’Q

Ruas garis QR pada segitiga QQ’R

Ruas garis PS pada segitiga PP”S

Untuk menentukan gradien garis berbentuk ax + by = c, ubahlah menajadi ke bentuk y = mx + c dengan cara :

Contoh :
Tentukan gradien dari persamaan garis di bawah :
a. 2y = 5x – 1
b. 3x – 4y = 10

2. Gradien Garis yang Melalui Duar Titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Dari gambar di atas tampak bahwa ruas garis AB melalui titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂), sehingga perbandingan komponen x dan komponen y ruas garis tersebut ialah :

Dengan demikian, bisa disimpulkan :

Catatan : selisih antara dua bilangan x₁ dan x₂ dinotasikan dengan Δx = x₂ – x₁ (Δ = delta)

Contoh :
Tentukan gradien garis yang melalui titik :
a. A(1, 2) dan B(3, 0)

3. Mengenal Gradien Garis Tertentu

a. Gradien yang sejajar sumbu X dan gradien garis yang sejajar sumbu Y

b. Gradien garis-garis yang saling sejajar

Perhatikan gambar di bawah.

Menentukan gradien ruas garis AB, CD, EF :

• Ruas AB melalui titik A(4, 0) dan B(6, 2), sehingga gradien ruas garis AB ialah
  
• Ruas garis CD melalui titik C(3, 2) dan D(5, 4), sehingga gradien ruas garis CD ialah
  
• Ruas garis EF melalui titik E(1, 1) dan F(3, 3), sehingga gradien ruas garis EF ialah
  

Menentukan gradien ruas garis GH, IJ, KL :

• Ruas garis GH melalui titik G(2, 3) dan H(0, 6), sehingga berlaku
  
• Ruas IJ melalui titik I(0, 3) dan J(-2, 6), sehingga berlaku
  
• Ruas KL melalui titik K(-1, 1) dan L(-3, 4), sehingga berlaku
  

Kesimpulannya, bahwa garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

Contoh :
Tentukan kedudukan garis y = -2 + 5 dengan garis berikut.
(i) x + (1/2)y = 2
(ii) 4x + 2y = 5

c. Gradien garis yang saling tegak lurus

Menentukan gradien dari ruas garis AB dan CD :

• Ruas garis AB melalui titik A(1, 1) dan B(4, 2), sehingga
  
• Ruas garis CD melalui titik C(3, 0) dan D(2, 3), sehingga
  

Selanjutnya menentukan gradien garis EF dan GH :

• Ruas garis EF melalui titik E(-3, 3) dan F(2, -2), sehingga
  
• Ruas garis GH melalui titik G(-3, 0) dan H(0, 3), sehingga
  

Contoh :
Coba deh periksa apakah garis yang melalui titik P(3, 1) dan Q(9, 5) tegak lurus dengan garis yang melalui titik R(8, 0) dan S(4, 6) !

C. Persaman Garis (2)

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x₁, y₁) dengan Gradien m

Misalkan suatu garis memiliki gradien m dan melalui sebuah titik (x₁, y₁). Bentuk persamaan garisnya ialah y = mx + c.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis :

• Substitusi titik (x₁, y₁) ke persaman y = mx + c
  y = mx + c
  y₁ = mx₁ + c
  c = y₁ – mx₁
• Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c
  y = mx + c
  y = mx + y₁ – mx₁
  y – y₁ = mx – mx₁
  y – y₁ = m(x – x₁)

Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dan gradien m ialah y – y₁ = m(x – x₁).

Contoh :
Hitunglah persamaan garis yang melalui titik (3, 5) dan gradien 1/2 !

2. Persamaan Garis yang Melalui Titik (x₁, y₁) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c

Garis g melalui titik (x₁, y₁) dan gradien m, sehingga persamaan garisnya ialah y – y₁ = m(x – x₁).

Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dan sejajar garis y = mx + c ialah y – y₁ = m(x – x₁).

Contoh :
Hitung persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan sejajar dengan garis 3x + 4y = 5 !

3. Persamaan Garis yang Melalui (x₁, y₁) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c

Karena garis g melalui titik (x₁, y₁) dan bergradien -1/m, maka persamaan garisnya ialah y – y₁ = -1/m (x – x₁)

Contoh :
Hitung coba persamaan garis yang melalui titik (-1, 3) dan tegak lurus garis 2x – 3y = 6, kemudian gambar grafiknya pada bidang koordinat !

Penyelesaian :

4. Persamaan Garis yang Melalui Duat Titik Sebarang (x₁, y₁) dan (x₂ dan y₂)

Perhatikan gambar di bawah :

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik bisa diselesaikan dengan cara :

Dengan memperhatikan bahwa gradien yang melalui titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) ialah

Persamaan garis yang melalui titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂)

atau bisa ditulis seperti

Contoh :
Tentukan coba persamaan garis yang melalui titik (3, -5) dan (-2, -3)

5. Menggambar Garis yang Melalui Titik (x₁, y₁) dengan Gradien m

Contoh :
Batlah deh garis yang melalui titik P(2, 0) dengan gradien -1/2 !

D. Menentukan Titik Potong Dua Garis

1. Kedudukan Dua Garis pada Bidang

Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang :

2. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis

Jika y₁ = m₁x + c₁ dan y₂ = m₂x + c₂ ialah persamaan dua garis yang tidak saling sejajar maka titik potongnya bisa dicari dengan menyelesaikan persamaan m₁x + c₁ = m₂x + c₂, kemudian substitusikan nilai x ke salah satu persamaan garis tersebut.

Contoh :
Tentukan koordinat titik potong garis x + y = 3 dan y = 2x – 1 !

E. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Konsep Persamaan Garis Lurus

Contoh :
Dikeahui garis 6x + py + 4 = 0 dan 3x – 2py – 5 = 0 saling tegak lurus. Tentukan :
a. Nilai p
b. Persamaan garis yang memenuhi

---

BAB 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan persamaan berikut :

• 3x + 8 = 2
• 3 – 2y = 7
• z + 3 = 4z

Variabel di atas ialah x, y, dan z. Dan persmaan di atas merupakan contoh persamaan satu variabel.

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :
a. 3x + 1 = 4, x ∈ B (B himpunan bilangan bulat)
b. 2y + 5 = -3y + 7, x ∈ Q (Q himpunan bilangan rasional)

B. Persamaan Linear Dua Variabel

1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan persamaan di bawah :

• x + 7 = y
• 3a – b = 4
• 2p + 4q = 5

Persamaan di atas merupakan persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 7 = y ialah x dan y, persamaan 3a – b = 4 variabelnya ialah a dan b, dan persamaan 2p – 4q = 5 variabelnya p dan q.

2. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh :
Buatlah grafik himpunan penyelesaian persamaan x + 2y = 4 untuk x, y variabel pada himpunan bilangan cacah !

C. Sistem Persamaan Dua Variabel

Ada 4 metode cara menentukan sistem persamaan dua variabel :

1. Metode Grafik

Contoh :
Coba cari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel x + y = 5 dan x – y = 1, jika x, y variabel pada himpunan bilangan real !

2. Metode Eliminasi

Contoh :
Coba cari deh himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !

Penyelesaian :

3. Metode Substitusi

Contoh :
Tentukan himpunan dari sistem persamaan linear dua variabel x – y = 3 dan 2x + 3y = 6 !

Penyelesaian :
x – y = 3 → x = y + 3 ……(1)
2x + 3y = 6 ….(2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
2x + 3y = 6
2(y + 3) + 3y = 6
2y + 6 + 3y = 6
5y + 6 = 6
5y = 6 – 6
5y = 0
y = 0

Substitusi ke persamaan (1)
x = y + 3
x = 0 + 3
x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(3, 0)}

4. Metode Gabungan

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan dua variabel 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y ∈ R !

D. Model Matematika Sistem Persaman Linear Dua Variabel

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita yang melibatkan sistem persamaan linear dua variabel :

• Mengubah kalimat-kalimat pada soal menjadi model matematika
• Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
• Menggunakan penyelesaian yang didapat untuk menjawab pertanyaan

Contoh :
Ahmad membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dengan harga Rp 15.000, sedangkan Ali membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp 18.000. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel ?

E. Mengubah Sistem Persamaan Non Linear Dua Variabel ke Bentuk Linear Dua Variabel

Nomor 1 dan 3 ialah sistem persamaan linear dua variabel karena memiliki dua variabel berpangkat satu. Sedangkan nomor 2 dan 4 ialah sistem persamaan non linear dua variabel karena memiliki dua variabel berpangkat dua.

Contoh :
Tentukan sistem persamaan non linear dua variabel berikut :

---

BAB 5
TEOREMA PYTHAGORAS

A. Teorema Pythagoras

1. Luas Persegi dan Luas Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar di bawah :

Luas persegi ABC = s x s

Perhatikan gambar berikut :

Luas segitiga PQS = Luas segitiga RQS

Luas segitiga siku-siku = 1/2 x alas x tinggi

2. Menemukan Teorema Pythagoras

Perhatikan gambar (i) tersebut.

Luas daerah yang diarsir = Luas 4 segitiga siku-siku
Luas daerah yang diarsir = 4 x 1/2 x alas x tinggi
Luas daerah yang diarsir = 4 x 1/2 x b x c
Luas daerah yang diarsir =2 x b x c

Luas daerah yang tidak diarsir = Luas persegi PQRS
Luas daerah yang tidak diarsir = a x a

Perhatikan gambar (ii) berikut.

Luas daerah yang diarsir = Luas 2 persegi panjang
Luas daerah yang diarsir = 2 x p x l
Luas daerah yang diarsir = 2 x b x c

Luas daerah yang tidak diarsir = Luas persegi KMGN + Luas persegi OFML
Luas daerah yang tidak diarsir = (p x l) + (p x l)
Luas daerah yang tidak diarsir = (b x b) + (c x c)
Luas daerah yang tidak diarsir = b² + c²

Perhatikan gambar (iii) berikut :

Luas persegi ABCD = Luas persegi EFGH

2bc + a² = 2bc + b² + c²
a² = b² + c²

Teorema phytagoras :
a² = b² + c²
b² = a² – c²
c² = a² – b²

Contoh :
Tentukan hubungan yang berlaku mengenai sisi-sisi segitiga di bawah :

3. Menggunakan Teorema Pythagoras

Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC !

B. Penggunaan Teorema Pythagoras

1. Kebalikan Teorema Pythagoras untuk Menentukan Jenis Suatu Segitiga

Contoh :
Hitung coba jenis segitiga dengan panjang sisi-sisi sebagai berikut :
a. 3 cm, 5 cm, 4 cm
b. 4 cm, 5 cm, 6 cm
c. 1 cm, 2 cm, 3 cm

Penyelesaian :
Misal, a = panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisiyang lain, maka di dapat :

2. Tripel Pythagoras

Tripel pythagoras ialah kelompok 3 bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain.

Perhatikan kelompok tiga bilangan di bawah :
a. 3, 5, 6
b. 6, 8, 10
c. 6, 8, 12
d. 4, 5, 6
e. 5, 12, 13

Tentukan apakah bilangan di atas merupakan jenis segitiga siku-siku !

Penyelesaian :

3. Perbandingan Sisi pada Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Khusus

a. Sudut 30^o dan 60^o

Perhatikan gambar berikut :

Pada gambar di atas ialah segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan ∠A = ∠B = ∠C = 60^o. Karena CD tegak lurus AB, maka CD adalah garis tinggi sekaligus garis bagi ∠C, sehingga ∠ACD = ∠BCD = 30^o

Contoh :
Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang diagonal AC = 10 cm dan ∠CAB = 30^o. Tentukan :
(i) Panjang AB
(ii) Panjang BC
(iii) Luas ABCD
(iv) Keliling ABCD

Penyelesaian :

b. Sudut 45^o

Perhatikan gambar di bawah :

Dengan menggunakan teorema pythagoras di dapat :

4. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar dan Bangun Ruang

Pada gambar di atas, diagonal sisi kubus antara lain AF, BE, BG, CF, CH, DG, DE, AH, HF, EG, AC, dan BD. Misal kita akan menentukan panjang dagonal sisi BD. Untuk menentukan teorema pythagoras di dapat :

Pada gambar di atas juga, terdapat diagonal ruang kubus antara lain HB, EC, DF, dan AG. Misal kita menentukan panjang diagonal ruang HB. Maka untuk menentukan teorema pythagoras di dapat :

Contoh :
Diketahu kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 15 cm. Tentukan panjang diagonal ruang AG !

Penyelesaian :

C. Model Matematika Teorema Pythagoras

Contoh :
Rahman sedang bermain layang-layang. Rahman menaikkan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak Rahman di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang ialah 60 meter. Tentukan ketinggian layang-layang !

---

BAB 6
LINGKARAN

A. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran ialah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik berjarak yang sama terhadap suatu titik tertentu.

2. Bagian-Bagian Lingkaran

Perhatikan gambar pertama disamping supaya lebih mudah memahami mengenai unsur-unsur dari lingkaran.

4. Menghitung Luas dan Keliling Lingkaran Bila Jari-jarinya berubah

Contoh :
Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm

C. Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Contoh :
Perhatikan gambar berikut :

Diketahui kari-jari OA = 10 cm. Jik besar ∠AOB = 60^o, hitunglah :
a. Panjang garis lengkung AB
b. Luas juring OAB
c. Luas temberang AB

2. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas juring

Contoh :
Perhatikan gambar berikut :

Diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm, panjang busur QR = 22 cm, dan besar ∠POQ = 45^o.
a. Hitung besar ∠QOR
b. Hitung panjang jari-jari OP
c. Tentukan luas juring OPQ dan OQR

D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat sama dengan 2 x besar sudut keliling

Contoh :

2. Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran

Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90^o (sudut siku-siku)

Contoh :
Diketahui ∠ABC = 65^o dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar ∠CAB !

3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Contoh :
Perhatikan gambar di bawah :

Diketahui besar ∠BAC = 50^o dan ∠CED 60^o. Tentukan besar ∠BDC, ∠ACD, dan ABD !

---

BAB 7
GARIS SINGGUNG LINGKARAN

A. Mengenal Sifat-Sifat Garis Singgung Lingkaran

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran ialah garis pemotong sebuah lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgunganya.

2. Melalui Suatu Titik pada Lingkaran Hanya Bisa Dibuat Satu Garis Singgung pada Lingkaran

• Jika titik A digeser ke A₁, maka garis k₁ dan k₂ akan bergeser sehingga menjadi garis l₁ dan l₂ yang menyinggung lingkaran di titik D dan E.
• Jika titik A₁ digeser ke A₂ tepat pada keliling lingkaran, maka garis l₁ dan l₂ bergeser dan saling berimpit menjadi garis g.

B. Melukis dan Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran

1. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, perhatikan langkah-langkah :

Kesimpulannya, sebuah titik pada lingkaran hanya bisa dibuat satu garis singgung pada lingkaran itu.

2. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Langkah-langkah membuat garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran :

• Lukislah lingkaran dengan titik pusat O dan titik A di luar lingkaran
• Hubungkan titik O dan A
• Buat busur lingkaran dengan pusat di titik O dan titik A, sehingga saling berpotongan di titik B dan titik C
• Hubungkan BC sehingga memotong garis OA di titik D.
• Lukis lingkaran berpusat di titik D dari berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Beri nama titik E dan F
• Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF adalah dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran

Kesimpulannya, melalui sebuah titik diluar lingkaran hanya bisa dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

3. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran

Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB tegak lurus garis AB. Garis AB ialah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.

Contoh :
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 5 cm. Garis AB ialah garis singgung lingkaran yang melalui titik A diluar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm, maka :
a. Gambarlah sketsanya
b. Hitung panjang garis singgung AB

4. Layang-Layang Garis Singgung

Perhatikan gambar berikut :

Contoh :
perhatikan gambar berikut :

Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah :
a. Panjang AP
b. Luas segitiga OAP
c. Luas layang-layang OAPB
d. Panjang tali busur AB

C. Kedudukan Dua Lingkaran

D. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

1. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Contoh :

2. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Contoh :
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ialah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3,5 cm, hitunglah panjang jari-jari yang lain !

Penyelesaian :

E. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

1. Menentukan Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Keterangan :
r = jari-jari lingkaran dalam segitiga
s = 1/2 keliling segitiga
L = luas segitiga
a, b, c = panjang sisi segitiga

Contoh :

2. Menentukan Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Keterangan :
r = jari-jari lingkaran luar segitiga
s = 1/2 keliling segitiga
L = luas segitiga
a, b, c = panjang sisi segitiga

Contoh :
Panjang sisi segitiga ialah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga !

---

BAB 8
KUBUS DAN BALOK

A. Mengenal Bangun Ruang

1. Mengenal Berbagai Macam Bangun Ruang

a. Kubus
b. Balok
c. Prisma Segitiga
d. Tabung
e. Limas Segitiga
f. Limas Segi Empat
g. Limas Segi Lima
h. Kerucut
i. Bola

2. Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Kubus dan Balok

Bisa disimpulkan bahwa terdapat hubungan antara banyak sisi, banyak rusuk, dan banyak titik sudut pada bangun ruang di atas.

S + T = R + 2

S = banyak sisi
T = banyak titik sudut
R = banyak rusuk

Rumus di atas biasa disebut teorema Euler

3. Bangun dari Sisi Kubus dan Balok

4. Rusuk-Rusuk yang Sejajar pada Bangun Ruang

5. Mengenal Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, dan Bidang Diagonal

Diagonal bidang ialah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok.

Diagonal ruang ialah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang.

Bidang diagonal suatu balok ialah bidang yang di batasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok.

B. Luas Permukaan serta Volume Kubus dan Balok

1. Luas Permukaan Kubus dan Balok

Contoh :

2. Volume Kubus

Volume kubus adalah :

Volume Balok :

Contoh :
a. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 5 cm. tentukan volumenya !

b. Volume sebuah balok 120 cm³. Jika panjangnya 6 cm dan lebarmya 5 cm, tentukan tinggi balok tersebut.

BAB 9
BANGUN RUANG SISI DATAR LIMAS DAN PRISMA TEGAK

A. Bangun Ruang Prisma dan Limas

1. Prisma

a. Titik A, B, C, D, E, dan F ialah titik sudut prisma
b. Segitiga ABC ialah bidang atas prisma
c. Segitiga DEF ialah bidang alas prisma
d. Bidang ACFD, BCFE, dan ABED ialah sisi tegak prisma
e. AD, CF, dan BE ialah rusuk-rusuk tegak prisma

2. Limas

B. Luas Permukaan Prisma dan Limas

1. Luas Permukaan Prisma

Luas permukaan prisma (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi)

Contoh :
Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm, serta tinggi prisma 12 cm. Tentukan luas permukaannya !

2. Luas Permukaan Limas

Contoh :
Diketahui alas sebuah limas T.ABCD berbentuk persegi dengan panjang rusuk 10 cm dan tinggi 12 cm. Tentukan luas permukaannya !

C. Volume Prisma dan Limas

1. Volume Prisma

Volume prisma = luas alas x tinggi

2. Volume Limas

Contoh :
Sebuah prisma alasnya berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 14 cm dan lebar 8 cm. Jika tinggi prisma 16 cm, tentukan volumenya !

Demikian pembahasan kali ini kita akhiri. Semoga bermanfaat.