RumusHitung.Com

RumusHitung.com – Halo sobat semuanya, nih rumushitung ada artikel rangkuman rumus matematika kelas 10 yang terbaru dan lengkap. Bisa dipelajari dengan mudah.

---

BAB 1
PROGRAM LINEAR

---

Program linear ialah bagian dari matematika terapan yang bisa memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, dimana model matematika terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang memiliki banyak penyelesaian.

A. Menentukan Himpunan Penyelesaian

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ax + by + c ≥ 0 atau ax + by + c ≤ 0 bisa ditentukan dengan :

• a, yaitu koefisien x harus bernilai positif
• Jika tanda ≥, maka daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis ax + by + c = 0
• Jika tanda ≤, maka daerah penyelesaiannya disebelah kiri garis ax + by + c = 0

B. Nilai Optimum Fungsi Objektif

Nilai optimum (maksimum /minimum) pada fungsi objektif dapat ditentukan :

1. Penggunaan Garis Selidik

Jika fungsi objektif f(x, y) = ax + by + c, maka garis selidiknya ialah ax + by + c = k :

• Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis batas paling kanan yang dilintasi garis selidik
• Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis batas kiri yang dilintasi garis selidik

2. Pengujian Titik Pojok

Apabila f(x, y) = ax + by + c disubstitusi pada seluruh koordinat titik pojok, hasil yang terbesar/terkecil menjadi nilai optimum dari fungsi tersebut.

BAB 2
MATRIKS

A. Pengertian Matriks

Matriks ialah kumpulan elemen-elemen yang disusun dalam baris dan kolom.

Contoh :

Keterangan :
a₁₁ : anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
a_mn : anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n

Ordo dari matriks dinyatakan pada banyaknya baris dan kolom. A_m x A_n = A_mn.

B. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila ordonya sama persis dan anggota juga sama persis letaknya.

Contoh :
Tentukan matriks A =matriks B !

Jawab :

a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃, a₄ = b₄, a₅ = b₅, a₆ = b₆

C. Transpose Matriks

Transpose matriks ialah pertukaran baris ke kolom atau sebaliknya pada suatu matriks.

Transpose matriks A = A^t = A^T

D. Determinan Matriks

Determinan hanya bisa dimiliki matriks persegi :

• Matriks A ordo 2 x 2
  
  Determinan matriks A :
  det A = |A| = ad – bc
• Matriks B ordo 3 x 3
  
  Determinan matriks B :
  

E. Invers Matriks

• Suatu matriks memiliki invers apabila determinannya tidak nol.
  
• Matriks A (matriks singular apabila det A = 0)
• (A^-1)^-1 = A
• A . A^-1 = A^-1 . A = I (I = matriks identitas)

BAB 3
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi pada saaat ada anggota A dan B berpasangan. Himpunan A disebut daerah asal (domain), sedangkan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan bagian B yang berpasangan dengan himpunan A disebut daerah hasil (range).

Fungsi ialah suatu relasi yang mengelompokkan atau mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain. f : A → B.

A. Fungsi Komposisi

Sifat-Sifat fungsi Komposisi :

• f o g ≠ g o f
• f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h
• I ialah fungsi identitas dimana I(x) = x, maka berlaku I o f = f o I dan f o f^-1 = f^-1 o f = I

B. Fungsi Invers

Invers fungs f(x) biasanya ditulis f^-1(x).

Sehingga jika f(x) = y, maka f^-1 (y) = x. Fungsi invers berlaku :

C. Invers Komposisi Fungsi

BAB 4
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Sistem Persamaan

Sistem persamaan ada 3 cara dalam menentukannya :

• Eliminasi
• Substitusi
• Campuran

B. Persamaan Garis

1. Melalui titik (x₁, y₁) pada gradien m, berlaku :
   y – y₁ = m(x – x₁)
2. Garis yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), berlaku :
   
3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a), berlaku :
   
   ax + by = a . b

C. Hubungan Antara Dua Garis

Diketahui garis g : y = m₁x + c₁ dan garis h : y = m₂x + c₂

• Garis g dan h sejajar
  m₁ = m₂
• Garis g dan h tegak lurus
  m₁ . m₂ = -1
• Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut sebesar α
  

BAB 5
BARISAN DAN DERET

A. Barisan Aritmatika

Adalah barisan dengan selisih di antara dua suku yang besarnya sama.

Contoh :
2, 4, 6, 8, ….. (selisih 2)
3, 6, 9, 12, …. (selisih 3)

U₁, U₂, U₃, U₄, …., U_n adalah suku-suku pada barisan aritmatika.

• Suku pertama : U₁ = a
• Beda : b = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_{n – 1}
• U_n : Suku ke-n

U_n = a + (n – 1)b

B. Deret Aritmatika

Adalah jumlah seluruh barisan pada suku yang berurutan.

Contoh :
2, 4, 6, 8, …., n
2 + 4 + 6 + 8 + …. + n

Jumlah n suku pertama :

C. Barisan Geometri

Adalah barisan dengan rasio antara dua suku yang besarnya sama.

Contoh :
1, 2, 4, 8, 16, 32, …. (rasio 2)
1, 3, 9, 27, 81, …. (rasio 3)

U₁, U₂, U₃, U₄, …., U_n adalah suku-suku pada barisan geometri.

• Suku pertama : U₁ = a
• Rasio : r = U₂ / U₁ = U₃ / U₂ = U_n / U_{n – 1}
• U_n : Suku ke-n

U_n = a . r^{n – 1}

D. Deret Geometri

Adalah jumlah seluruh barisan pada suku yang berurutan.

Contoh :
1, 3, 9, 27, 81, …, n
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …. + n

Jumlah n suku pertama :

E. Deret Geometri Tak Hingga

• Rumus jumlah deret geometri tak hingga :
  
• Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil :
  
• Jumlah tak hingga dari suku-suku genap :
  
• Rasio deret geometri tak hingga :
  

Deret geometri memiliki limit apabila -1 < r < 1⇔| r | < 1

BAB 6
TRIGONOMETRI

Pada sebuah segitiga ABC berlaku hubungan :

A. Sudut-Sudut Istimewa

B. Sudut-Sudut Berelasi

C. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri antara lain :

D. Aturan Sinus dan Cosinus

Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan cosinus :

E. Menghitung Luas Segitiga

F. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

G. Rumus Perkalian Sinus-Cosinus

H. Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

• Sinus
  
• Cosinus
  
• Tan
  
  k = …., -1, 0, 1, 2, 3, ….

BAB 7
STATISTIKA

A. Statistika

1. Rata-Rata (Mean)

Data tunggal :

n = banyak data
xi = data ke-i
i = 1, 2, 3, …, n

Data kelompok :

f_i = banyak data x_i
n = f₁ + f₂ + f₃ + … + f_n

2. Modus (Mo)

Data tunggal :

Contoh :
Diketahui data : 3, 3, 1, 4, 5, 2, 1, 3, 1, 6, 5, 1
Modus data tersebut ialah 1.

Data kelompok :

t_b = tepi bawah kelas modus
d₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
c = panjang kelas

3. Median (Me/Q₂)

Adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median juga disebut sebagai kuartil tengah (Q₂).

Data tunggal :

Data kelompok :

t_b = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q₂
∑f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
f_k = frekuensi kelas yang memuat Me

4. Kuartil

Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah membagi 4 bagian.

Data kelompok :

Kuartil bawah (Q₁) :

Kuartil atas (Q₃) :

Keterangan :
t_b1 = tepi bawah yang memuat Q₁
t_b3 = tepi bawah yang memuat Q₃
(∑f)₁ = jumlah frekuensi sebelum Q₁
(∑f)₃ = jumlah frekuensi sebelum Q₃
f₁ = frekuensi kelas yang memuat Q₁
f₃ = frekuensi kelas yang memuat Q₃

5. Jangkauan

• Jangkauan dirumuskan dengan :
  
• Jangkauan antarkuartil (H) :
  
• Jangkauan semi antarkuartil (simpangan kuartil) (Q_d) :
  

6. Simpangan Rata-Rata (SR)

Data tunggal :

Data kelompok :

7. Ragam Varian (R)

Data tunggal :

Data kelompok :

8. Simpangan Baku

Data tunggal :

Data kelompok :

9. Perubahan Data

Jika masing-masing diubah dengan nilai yang sama :

Catatan :
– Yang termasuk ukuran pemusatan data ialah : Mean (rata-rata), Mo (Modus), Me (Median), dan Q₁ (Kuartil).
– Yang termasuk ukuran penyebaran data ialah : Jangkauan, jangkauan antarkuartil (H), simpangan kuartil (Q_d), simpangan baku (S), ragam varian (R).

BAB 8
ATURAN PENCACAHAN

A. Peluang

Aturan Perkalian

Misal, diperoleh n tempat tersedia dengan :

• A₁ ialah banyak cara untuk mengisi tempat pertama.
• A₂ ialah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi.
• A₃ ialah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga sesudah tempat pertama dan juga kedua terisi.
• A_n ialah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, …., ke (n – 1) terisi.
  

Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan ialah :

A₁ x A₂ x A₃ x … x I_n

Notasi faktorial :

n! = 1 x 2 x 3 x … (n – 1) x n
1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli

1. Permutasi

• Permutasi ialah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA).
• Rumus dan notasi yang dipakai dalam permutasi ialah :
  – Banyaknya permutasi n unsur yang diambil dari n unsur, P(n. r) = n!
  – Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur :
  
• Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan I unsur yang sama :
  
• Banyaknya permutasi siklik (lingkaran) dan n unsur :
  (n – 1)!

2. Kombinasi

• Kombinasi ialah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).
• Kombinasi k unsur dari n unsur (dilambangkan _nC_k atau C(n, k)).
• Kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur :
  

3. Peluang Kejadian

Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan rumus :

n(S) = banyaknya anggota semesta
n(A) = banyaknya anggota A
P(A) = peluang kejadian A

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misal, A^c ialah komplemen kejadian A, maka :
P(A^c) = 1 – P(A)

5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan ialah :
FH(A) = n x P(A)

6. Peluang Kejadian Majemuk

• Gabungan dua kejadian
  P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
• Kejadian saling lepas
  P(A∪B) = P(A) + P(B)
• Kejadian saling bebas
  P(A∩B) = P(A) . P(B)

BAB 9
LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran

• Persamaan lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari = r.
  

• Persamaan lingkaran pusat (a, b) dan jari-jari = r.
  

• Persamaan lingkaran pusat (0, b) dan menyinggung sumbu x :
  

• Persamaan lingkaran pusat (a, 0) dan menyinggung sumbu y :
  

• Persamaan lingkaran pusat (a, b) dan menyinggung garis px + qy + r = 0.
  

1. Persamaan Umum Lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

K = x₁² + y₁² + 2ax₁ + 2by₁ + c

• K > 0, maka titik A(x₁, y₁) luar lingkaran.
• K < 0, maka titik A(x₁, y₁) dalam lingkaran
• K = 0, maka titik A(x₁, y₁) pada lingkaran

B. Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran

1. Diketahui titik singgungnya (x₁, y₁)

• Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² pada titik (x₁, y₁).
  Rumus :
  x₁x + y₁y = r²
• Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² di titik (x₁, y₁).
  Rumus :
  (x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²
• Persamaan garis singgung di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² + 2ax + 2by + c = 0.
  Rumus :
  x₁x + y₁y + a(x₁ + x) + b(y₁ + y) + c = 0

2. Diketahui gradien m

• Persamaan garis singgung gradien m pada lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan jari-jari r.
  Rumus :
  
• Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r².
  Rumus :
  

C. Hubungan Garis dengan Lingkaran

Diberikan garis g : y = mx + n dan lingkaran : L ≡ x² + y² = r². Hubungan antara garis g dan lingkaran L bisa diselidiki dengan cara :

• Substitusi garis g ke L
• Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu :
  1. D > 0, garis memotong lingkaran pada dua titik
  2. D = 0, garis memotong lingkaran pada satu titik atau garis singgung lingkaran.
  3. D < 0, garis tidak menyinggung lingkaran
     

BAB 10
TRANSFORMASI

Jika suatu transformasi bisa disajikan sebagai matriks,

A. Translasi (Pergeseran)

Translasi ialah pergeseran objek sepanjang garis lurus dengan jarak dan arah yang ditentukan.

Apabila sembarang titik P(x, y) ditranslasi dengan matriks

Jadi, P'((x + a), (y + b))

B. Refleksi (Pencerminan)

• Pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan P'(x, -y).
  
• Pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan P'(-x, y).
  
• Pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu y = x menghasilkan bayangan P'(y, x).
  
• Pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan P'(-y, -x).
  
• Matriks refleksi terhadap garis y = x + k
  
• Matriks refleksi terhadap y = -x + k
  
• Refleksi terhadap garis x = h
  
• Refleksi terhadap garis y = k
  
• Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k
  
• Pencerminan terhadap dua garis yang saling berpotongan.
  Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yakni garis y₁ = m₁x + c₁ dan y₂ = m₂x + c₂ akan menghasilkan rotasi :
  1. Dengan pusat di titik potong dua garis
  2. Dengan besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat sudut antara kedua garis
  3. Dengan arah rotasi sama dengan arah dari garis pertama ke garis kedua.
     
     Jika α sudut yang dibentuk antara garis
     

C. Rotasi (Perputaran)

Rotasi ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.

• Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
  
• Rotasi dengan pusat (a, b) sebesar α
  

D. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi, suatu transformasi yang memperbesar/memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangun yang berkaitan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala.

• Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k ialah
  
• Dilatasi pusat (0, 0) dengan faktor dilatasi k
  
• Dilatasi pusat (a, b) dengan faktor dilatasi k
  

BAB 11
TURUNAN

A. Definisi

B. Rumus Dasar

1. Turunan suatu konstanta c.

Jika y = c, maka y’ = 0

2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta.

Jika y = c f(x), maka y’ = c f'(x)

3. Turunan fungsi penjumlahan atau pengurangan.

Jika y = u(x) ± v(x), maka y’ = u'(x) ± v'(x)

4. Turunan fungsi perkalian.

Jika y = u(x) . v(x), maka y’ = u'(x) . v(x) + v'(x) . u(x)

5. Turunan fungsi pembagian.

6. Turunan fungsi komposisi.

7. Turunan fungsi pangkat.

Jika f(x) = axⁿ, maka f'(x) = a . nx^n-1

Turunan Trigonometri

• f(x) = sin ax, maka f'(x) = a cos ax
• f(x) = cos ax, maka f'(x) = -a sin ax
• f(x) = tan ax, maka f'(x) = a sec² ax

C. Penerapan Rumus

1. Gradien (m) garis singgung di titik (x₁, y₁) pada kurva f(x).

• Gradien = nilai turunan pertama f(x) saat x = x₁
  m = f'(x₁)
• Persamaan garis singgungnya :
  y – y₁ = m(x – x₁)

2. Interval fungsi naik dan turun.

Kurva naik apabila f'(x) > 0
Kurva turun apabila f'(x) < 0

3. Keadaan stasioner

• Apabila keadaan stasioner terjadi di titik (x₁, y₁), maka f'(x₁) = 0.
  y₁ = f(x₁) disebut nilai stasioner.
  Jadi, nilai maksimal atau minimum ialah (x₁, y₁) = (x₁, f(x₁))
  Catatan :
  Titik stasioner sama dengan titik puncak atau titik balik.

BAB 12
INTEGRAL

Integral yaitu kebalikan dari turunan

A. Rumus Dasar

B. Integral Substitusi

C. Integral Parsial

D. Luas Daerah

E. Volume Benda Putar

Itulah rangkuman rumus matematika kelas 11 lengkap dan terbaru. Semoga bermanfaat.