RumusHitung.com – Halo sobat, masih semangat untuk belajar yaa.. Jadi, rumushitung akan memberikan ringkasan atau rangkuman rumus matematika kelas 12. Disini sudah di himpun supaya kalian bisa memahami dan mudah dalam mengerjakan soal-soal matematika.
BAB 1
PROGRAM LINEAR
A. Sistem Pertidaksamaan Linear
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel (PLDV) ialah bagian dari matematika yang memuat dua variabel, dengan variabel berpangkat satu dan memiliki tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan, yaitu “>, <, ≥, atau ≤”.
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel :
ax + by > c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c
Keterangan :
a = koefisien dari x, a ≠ 0
b = koefisien dari y, b ≠ 0
c = konstanta
a, b, dan c merupakan anggota bilangan real.
Contoh dari pertidaksamaan linear dua variabel :
- 3x + 5y > 7
- 4y – x > 4
- 2 + 5x < 5y
- 3x – 8 ≤ y
- 4 ≥ x – y
Contoh :
Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari 3x + 4y ≤ 12 ; x, y ∈ R adalah …..
Jawab :
3x + 4y ≤ 12, ganti tanda ketidaksamaan sehingga didapatkan garis 3x + 4y = 12.
Titik potong sumbu x, y = 0
3x + 4(0) = 12 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4
Titik potong sumbu y, x = 0
3(0) + 4y = 12 ⇔ 4y = 12 ⇔ y = 3
Titik potong sumbu koordinat (4, 0) dan (0, 3). Didapat grafik 3x + 4y = 12
Pengujian titik (0, 0) :
3x + 4y ≤ 12
3(0) + 4(0) ≤ 12
0 ≤ 12 (Benar)
Jadi, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut ialah di bawah garis batas (daerah yang diarsir).
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) ialah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksaman itu memiliki dua variel.
Contoh :
Coba cari daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah !
5x + 4y ≤ 20
7x + 2y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab :
Membuat grafik dari pertidaksamaan yang diketahui dari soal
Titik (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan
5x + 4y ≤ 20
5(0) + 4(0) ≤ 20
0 ≤ 20 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20
7x + 2y ≤ 14
7(0) + 2(0) ≤ 14
0 ≤ 14 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14
x ≥ 0 dan y ≥ 0
Daerah yang memenuhi pada kudran 1
Jadi, grafik di atas adalah daerah penyelesaian yang memenuhi SPLDV.
Persamaan garis pada sistem pertidaksamaan linear yang memotong sumbu x dan y di titik (b, 0) dan (0, a).
Persamaan garis pada sistem pertidaksamaan linear yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)
Contoh :
Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah !
B. Program Linear
1. Model Matematika
Secara umum, model matematika dalam pertidaksamaan linear ada 2 komponen :
- Fungsi tujuan z = f(x, y) = ax + by
- Fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear)
Contoh :
2. Masalah Program Linear
Contoh :
Hitung nilai masksimum f(x, y) = 3x + 4y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan di bawah :
x + 2y ≤ 10
4x + 3y ≤ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab :
Titik potong x + 2y = 10 dan 4x + 3y = 24 dengan sumbu x dan sumbu y :
x + 2y = 10 memotong sumbu x di titik (10, 0)
x + 2y = 10 memotong sumbu y di titik (0, 5)
4x + 3y = 24 memotong sumbu x di titik (6, 0)
4x + 3y = 24 memotong sumbu y di titik (0, 8)
Grafik penyelesaiannya seperti berikut.
Menentukan titik koordinat B (perpotongan antara garis x + 2y = 10 dan 4x + 3y = 24 ) :
Kemudian substitusikan ke dalam fungsi tujuan z = f(x, y) = 3x + 4y.
Jadi, nilai maksimumnya ialah 23, 6.
BAB 2
MATRIKS
A. Pengertian Matriks
Matriks ialah sekelompok bilangan yang disusun berdasarkan baris dan kolom dalam tanda kurung dan berbentuk seperti persegi atau persegi panjang.
Contoh matriks :
Contoh :
Diketahui matriks berikut :
Tentukan :
a. Banyaknya baris pada matriks tersebut
b. Bantaknya kolom
c. Ordo pada matriks tersebut
d. h32 dan h14
e. Banyaknya elemen pada matriks tersebut
Jawab :
a. Ada 3 baris pada matriks H
b. Ada 4 kolom pada matriks H
c. Ordo matriks H ialah 3 x 4 karena memiliki 3 baris dan 4 kolom
d. h32 (elemen matriks pada baris ke-3 dan kolom ke-2) = 11, h14 (elemen matriks pada baris ke-1 dan kolom ke-4) = 12
e. Ada 12 elemen pada matriks H
B. Jenis-Jenis Matriks
Jenis-jenis matriks antara lain :
- Matriks Nol
Dikatakan matriks nol karena semua elemen pada matriks sama dengan nol. Misalnya : - Matriks Baris
Dikatakan matriks baris karena matriks tersebut terdiri hanya satu baris saja. Misalnya : - Matriks Kolom
Dikatakan matriks kolom karena matriks tersebut terdiri hanya satu kolom saja. Misalnya : - Matriks Persegi (Matriks Kuadrat)
Dikatakan matriks persegi karena baris dan kolom jumlahnya sama. Misalnya :
Pada matriks persegi memiliki diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan : - Matriks Segitiga
Dikatakan matriks segitiga karena salah satu elemen-elemen yang letaknya di atas atau di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya : - Matriks Diagonal
Dikatakan matriks diagonal karena elemen-elemen yang letaknya di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya : - Matriks Skalar
Dikatakan matriks skalar karena semua elemen yang letaknya pada diagonal utama mempunyai nilai yang sama. Misalnya : - Matriks Satuan (Matriks Identitas)
Dikatakan matriks satuan karena semua elemen yang letaknya pada diagonal utama bernilai satu. Misalnya :
C. Transpose Matriks
Transpose matriks adalah pertukaran baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris atau sebaliknya.
Contoh :
Tentukan transpose dari matriks-matriks di bawah :
Jawab :
D. Kesamaan Dua Matriks
Dikatakan dua matriks itu sama karena dari dua matriks tersebut memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks tersebut juga sama.
Contoh :
E. Operasi Aljabar pada Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Syarat supaya menjadi operasi aljabar pada matriks, harus berordo sama satu dengan matriks yang lain.
Contoh :
2. Perkalian Bilangan Real dengan Sebuah Matriks
Contoh :
3. Perkalian Matriks
Contoh :
Sifat-sifat perkalian matriks antara lain :
1. AB ≠ BA tidak komutatif
2. A(BC) = (AB)C assosiatif
3. A(B + C) = AB + AC distributif
4. (A + B)C = AC + BC distributif
5. k(AB) = kA(B) = A(kB) assosiatif
6. IA = AI = A perkalian identitas
7. (AB)t = Bt At
8. (BA)t = At Bt
4. Perpangkatan Matriks Persegi
Contoh :
F. Determinan Matriks
a. Determinan Matriks 2 x 2
Contoh :
b. Determinan Matriks 3 x 3
Contoh :
G. Invers Matriks Persegi
Misal, apabila matriks A dan matriks B berordo 2 x 2 dan memnuhi persamaan AB = BA = I2, maka matriks A ialah matriks invers dari matriks B atau sebaliknya.
Contoh :
Contoh :
BAB 3
BARISAN DAN DERET
A. Barisan Aritmatika
Keterangan :
a = suku awal atau suku ke-1
b = beda barisan selisih pada suku (U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1)
Un = Suku ke-n
Contoh :
Diketahui barisan aritmatika 7, 11, 15, 19, ….
a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan
b. Tentukan suku ke-11 dari barisan
Jawab :
B. Deret Aritmatika
Keterangan :
Sn = Jumlah n suku pertama
a = suku awal atau suku ke-1
b = beda barisan selisih pada suku
Un = Suku ke-n
Contoh :
Diketahui barisan aritmatika 6, 17, 28, 39, ….
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama
b. Jumlah 10 suku pertamanya
Jawab :
C. Barisan Geometri
Keterangan :
a = suku awal atau suku ke-1
r = rasio (U3 : U2 = U2 : U1 = Un : Un-1)
Un = suku ke-n
Contoh :
Diketahui barisan geometri 2, 8, 32, 128, ….
a. Tentukan suku pertama dan rasio
b. Rumus suku ke-n
c. U5 dan U11
Jawab :
D. Deret Geometri
Keterangan :
Sn = Jumlah n suku pertama
a = suku awal atau suku ke-1
r = rasio
Un = suku ke-n
Contoh :
E. Deret Geometri Tak Hingga
a. Untuk r < -1 atau r > 1
b. Untuk -1 < r < 1
Contoh :
Itulah rangkuman mengenai rumus matematika lengkap kelas 12 SMA. Semoga bermanfaat.