Guys, kali ini RumusHitung ingin membagikan beberapa latihan soal akar-akar persamaan kuadrat beserta pembahasannya. Rumushitung akan mengetes kalian apakah kalian sudah memahami akar-akar persamaan kuadrat. Oke, langsung saja ke soalnya.
Soal 1 :
Jika terdapat akar-akar persamaan kuadrat 3m dan 3n dengan persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0, maka persamaan kuadrat dari akar-akar m dan n adalah . . . . .
A. x² – 5x + 6 = 0
B. x² + 5x + 6 = 0
C. 3x² – 5x + 6 = 0
D. 3x² + 5x + 6 = 0
E. 3x² – 5x – 6 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat x² – 5x + 6 = 0, dengan akar-akarnya 3m dan 3n :
a = 1
b = -5
c = 6
3m + 3n = -b/a
3m + 3n = -(-5)/1
3m + 3n = 5
3(m + n) = 5
m + n = 5/3
3m . 3n = c/a
3m . 3n = 6/1
3m . 3n = 6
3(m . n) = 6
m . n = 2
x² – (m + n)x + (m . n) = 0
x² – (5/3)x + 2 = 0
3x² – 5x + 6 = 0
Jadi, hasil persamaan kuadrat baru adalah
3x² – 5x + 6 = 0 (C)
Soal 2 :
Diketahui α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat dari x² – (a + 4)x + 16 = 0. Jika 2α dan 2β adalah akar-akar persamaan kuadrat dari x² – 16 + 64 = 0, maka nilai a adalah . . . . .
A. 4
B. 2
C. 0
D. -2
E. -4
Jawab :
Persamaan x² – (a + 4) + 16 = 0, dengan akar-akarnya α dan β :
α + β = -(-(a + 4)/1
α + β = (a + 4)
Persamaan kuadrat x² – 16 + 64 = 0, dengan akar-akarnya 2α dan 2β :
2α + 2β = -(-16)/1
2α + 2β = 16
Maka,
2(α + β) = 16
α + β = 8
(a + 4) = 8
a = 8 – 4
a = 4
Jadi, nilai a adalah 4 (A)
Soal 3 :
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 4 kali akar persamaan kuadrat x² + x – 6 = 0 adalah . . . . .
A. x² + 4x – 96 = 0
B. x² + 20x – 48 = 0
C. x² – 8x + 96 = 0
D. x² + 4x + 96 = 0
E. x² – 4x – 96 = 0
Jawab :
Akar-akar persamaan kuadrat x² + x – 6 = 0 adalah m (anggap saja m)
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 4 kali akar persamaan kuadrat x² + x – 6 = 0
Anggap saja akarnya 4m
Misalkan 4m = x
4m = x
m = x/4
Langsung disubstitusikan ke persamaan kuadrat :
x² + x – 6 = 0
(x/4)² + (1/4)x – 6 = 0
x²/16 + (1/4)x – 6 = 0
x² + 4x – 96 = 0
Jadi, hasil persamaan kuadratnya adalah
x² + 4x – 96 = 0 (A)
Soal 4 :
Persamaan kuadrat dengan akar-akar m dan n adalah 4x² – 4x – 3 = 0. Tentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya (2m – 2) dan (2n – 2) . . . .
A. x² + 2x – 3 = 0
B. x² – 2x – 3 = 0
C. x² + 2x + 3 = 0
D. 2x² – 2x + 3 = 0
E. 2x² + 2x – 3 = 0
Jawab :
Pilih salah satu akar dari (2m – 2) dan (2n – 2), kemudian misalkan x
2n – 2 = x
2n = x + 2
n = (x + 2)/2
Substitusikan ke persamaan 4x² – 4x – 3 = 0
4[(x + 2)/2]² – 4[(x + 2)/2) – 3 = 0
(x + 2)² – 2(x + 2) – 3 = 0
x² + 4x + 4 – 2x – 4 – 3 = 0
x² + 2x – 3 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
x² + 2x – 3 = 0 (A)
Soal 5 :
Akar-akar persamaan kuadrat 7x² + 10x + 3 = 0 adalah 2m dan 2n. Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 7m dan 7n, persamaan kuadratnya adalah . . . . .
A. 4x² + 20x – 21 = 0
B. 4x² – 20x + 21 = 0
C. 4x² + 20x + 21 = 0
D. 2x² – 20x – 21 = 0
E. 2x² + 20x + 21 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat 7x² + 10x + 3 = 0 dengan akar-akarnya 2m dan 2n :
2m + 2n = -10/7
2(m + n) = -10/7
m + n = -10/14
m + n = -5/7
2m . 2n = 3/7
4mn = 3/7
mn = 3/28
Menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang diketahui adalah 7m dan 7n :
7m + 7n = 7(m + n)
7(m + n) = 7(-5/7)
7(m + n) = -5
7m . 7n = 49mn
49mn = 49(3/28)
49mn = 21/4
x² – 7(m + n)x + 49mn = 0
x² – (-5)x + 21/4 = 0
x² + 5x + 21/4 = 0
4x² + 20x + 21 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
4x² + 20x + 21 = 0 (C)
Soal 6 :
Dari persamaan kuadrat x² – 64 = 0, memiliki akar-akar persamaan p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya (p – 16) dan (q – 16) . . . . .
A. 2x² + 32x + 192 = 0
B. x² – 32x – 192 = 0
C. 2x² + 32x – 192 = 0
D. x² – 32x + 192 = 0
E. x² + 32x + 192 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat x² – 64 = 0 dengan p dan q adalah akar-akarnya :
p + q = 0
p . q = -64
Menentukan persamaan kuadrat baru akar-akar p – 16 dan q – 16 :
(p – 16) + (q – 16) = p + q – 32
p + q – 32 = -32
(p – 16)(q – 16) = pq – 16(p + q) + 256
pq – 16(p + q) + 256 = -64 – 16(0) + 256
pq – 16(p + q) + 256 = 192
x² – (-32)x + 192 = 0
x² + 32x + 192 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
x² + 32x + 192 = 0 (E)
Soal 7 :
Diketahui akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah m dan n. Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah m/2 dan n/2, maka persamaan kuadrat baru adalah . . . . .
A. 4a²x² + 2bx + c = 0
B. 4ax² + 2bx + c = 0
C. 4ax² – 2bx + c = 0
D. 4a²x² – 2bx + c = 0
E. 4ax² – 2bx – c = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akarnya adalah m dan n :
m + n = -b/a
m . n = c/a
Menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar persamaan kuadrat m/2 dan n/2 :
m/2 + n/2 = (1/2)(m + n)
(1/2)(m + n) = (1/2)(-b/a)
1/2(m + n) = -b/2a
m/2 . n/2 = mn/4
mn/4 = (c/a)/4
mn/4 = c/4a
x² – (-b/2a)x + c/4a = 0
x² + (b/2a)x + c/4a = 0
4ax² + 2bx + c = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
4ax² + 2bx + c = 0 (B)
Soal 8 :
Terdapat akar-akar persamaan kuadrat x² + 12x + 45 = 0 dengan akar-akarnya adalah x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar 1/3x₁ dan 1/3x₂ adalah . . . . .
A. 405x² + 54x – 1 = 0
B. 45x² – 54x + 1 = 0
C. 405x² – 54x – 1 = 0
D. 405x² + 54x + 1 = 0
E. 45x² + 54x + 1 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat x² + 18x + 45 = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂ :
x₁ + x₂ = -12
x₁ . x₂ = 45
Menentukan persamaan kuadrat baru dari akar-akar 1/3x₁ dan 1/3x₂ :
1/3x₁ + 1/3x₂ = (x₁ + x₂)/(3x₁x₂)
(x₁ + x₂)/(3x₁x₂) = -18/3(45)
(x₁ + x₂)/(3x₁x₂) = -6/45
(x₁ + x₂)/(3x₁x₂) = -2/15
1/3x₁ . 1/3x₂ = 1/9x₁x₂
1/9x₁x₂ = 1/9(45)
1/9x₁x₂ = 1/405
x² – (-2/15)x + (1/405) = 0
x² + (2/15)x + (1/405) = 0
405x² + 54x + 1 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
405x² + 54x + 1 = 0 (D)
Soal 9 :
Pada persamaan kuadrat baru 3x² + 8x + 5 = 0 memiliki akar-akar 3r dan 3s. Persamaan kuadrat awal dengan akar-akar r dan s adalah . . . . .
A. 27x² – 24x + 5 = 0
B. 27x² + 24x – 5 = 0
C. 27x² + 24x + 5 = 0
D. 9x² – 24x – 5 = 0
E. 9x² + 24x + 5 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat baru 3x² + 8x + 5 = 0 dengan akar-akar persamaan 3r dan 3s :
3r + 3s = -8/3
3(r + s) = -8/3
r + s = -8/9
3r . 3s = 5/3
9rs = 5/3
rs = 5/27
Menentukan persamaan kuadrat awal akar-akar r dan s :
r + s = -8/9
r . s = 5/27
x² – (-8/9)x + 5/27 = 0
x² + (8/9)x + 5/27 = 0
27x² + 24x + 5 = 0
Jadi, persamaan kuadrat awal adalah
27x² + 24x + 5 = 0 (C)
Soal 10 :
Dari persamaan kuadrat 3x² + 12x + 9 = 0 yang akar-akarnya adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar α/2 dan β/2 adalah . . . .
A. x² + 8x – 3 = 0
B. 4x² – 8x – 3 = 0
C. x² – 8x + 3 = 0
D. 4x² + 8x + 3 = 0
E. 2x² + 8x + 3 = 0
Jawab :
Persamaan kuadrat 3x² + 12x + 9 = 0 yang akar-akarnya α dan β :
α + β = -12/3
α + β = -4
α . β = 9/3
α . β = 3
Menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar α/2 dan β/2 :
α/2 + β/2 = (α + β)/2
(α + β)/2 = -4/2
(α + β)/2 = -2
α/2 . β/2 = αβ/4
αβ/4 = 3/4
x² – (-2)x + (3/4) = 0
x² + 2x + 3/4 = 0
4x² + 8x + 3 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru adalah
4x² + 8x + 3 = 0 (D)
Itulah beberapa soal latihan dan pembahasan tentang akar-akar persamaan kuadrat. Semoga dengan soal latihan ini bisa memudahkan kalian dalam memahami materi yang dibahas ya. Semoga bermanfaat dan sekian terima kasih.