RumusHitung.Com

 

Hai sobat, jumpa lagi dengan rumushitung.com. Pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai materi yang menarik loh, yaitu mengenai induksi matematika.

Materi kali ini sangat memiliki peran yang penting dalam pembuktian dalam pernyataan suatu rumus matematika.

Selain itu, induksi matematika juga dapat membantu kita untuk berfikir secara logis dan sistematis. Ok,  langsung saja, yuk kita simak materi berikut…

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika yaitu sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi matematika juga merupakan salah satu metode baku untuk pembuktian di bidang matematika. Selain itu, induksi matematika juga bisa meminimalisir langkah-langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk didalam himpunan kebenaran.

Induksi matematika hanya bisa dipakai untuk membuktikan kebenaran sebuah pernyataan/ rumus, namun tidak dapat dipakai untuk menurunkan rumus.

Berikut ini merupakan beberapa contoh pernyataan matematika yang bisa dibuktikan kebenarannya menggunakan induksi matematika:

Ada cara mudah untuk mengetahui prinsip kerja dari induksi matematika, yakni dengan mengamati efek domino, yang diawali dari pertanyaan “Kapan semua domino akan jatuh?”

Ada dua syarat untuk dipenuhi agar semua domino diatas terjatuh, yakni:

• Pertama: Domino ke 1 harus jatuh
• Kedua: benar bahwa masing-masing domino yang jatuh akan menimpa tepat pada satu domino selanjutnya. Hal ini berarti, bila domino 1 jatuh, maka domino 2 pasti akan jatuh, bila domino 2 jatuh , maka domino 3 juga jatuh, dan seterusnya, atau bisa disimpulkan “Kalau domino k jatuh, maka domino ( k + 1 ) juga jatuh.” Dan implikasi ini akan berlaku untuk semua domino.

Jika kedua pernyataan diatas dapat terpenuhi, maka dapat dipastikan bahwa seluruh domino akan jatuh.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika mempunyai langkah-langkah/ prinsip yang harus ditempuh untuk dapat membuktikan bahwa benarnya suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Berikut ini merupakan prinsip-prinsip induksi matematika menurut jenisnya;

Induksi Matematika Sederhana

Langkah-langkah dalam induksi matematika sederhana;

1. Langkah dasar: Buktikan bahwa sebuah pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n)
2. Langkah induksi: Jika suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n), maka pernyataan tersebut juga harus berlaku untuk P(k) atau P(K + 1)

Contohnya;

Buktikanlah bahwa penjumlahan untuk n bilangan asli berlaku:

Jawab:

1. Langkah dasar:

Karena P(1) = Benar, maka berlaku P(n) benar

2. Langkah induksi

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P (k + 1) dengan k  ≥ n.

Sehingga;

Karena P(K +1) sesuai dengan bentuk pernyataan P(n), maka P(k) bernilai benar. Jadi pernyataan;

Bernilai benar untuk semua bilangan n  ≥ 1

Lanjut ke…

Induksi Matematika Diperluas

Tiap pernyataan yang didalamnya dimuat n bilangan asli, tidak harus dimulai dari angka 1. Oleh karena itulah, induksi matematika bisa diperluas menggunakan langkah-langkah berikut;

1. Langkah dasar: Buktikan bahwa sebuah pernyataan berlaku untuk P(m).
2. Langkah induksi: Buktikan bahwa jika suatu pernyataan berlaku untuk P(k) dengan K ≥ m, maka pernyataan tersebut juga harus berlaku untuk P(K + 1)

Induksi Matematika Kuat

Prinsip dasar dari induksi matematika kuat ini berbeda dengan sebelumnya, yang mana kita hanya perlu membuktikan bahwa P(1) benar, maka pada untuk teori induksi kuat, pernyatan harus bernilai benar untuk :

Selain itu kita juga perlu membuktikan pernyataan benar untuk P(k + 1).

Berikut ini merupakan langkah yang perlu ditempuh untuk melakukan pembuktian pernyataan pada induksi matematika kuat:

1. Langkah dasar: Mula-mula buktikan bahwa P(n) benar
2. Langkah induksi: Apabila  Benar untuk k ≥ n, maka gunakan hal tersebut untuk membuktika bahwa P(k + 1) juga benar.

Baca Juga:

– Rangkuman Rumus Matematika Kelas 11 Lengkap dan Terbaru

– SMA Kelas 12 : Rangkuman Rumus Matematika Lengkap

Jenis-jenis Induksi Matematika

Sebagaimana yang telah diterangkan sebelumnya, induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli.Induksi matematika juga merupakan salah satu metode baku untuk pembuktian di bidang matematika. Selain itu, induksi matematika juga bisa meminimalisir langkah-langkah untuk membuktikan bahwa semua bilangan bulat termasuk didalam himpunan kebenaran.

Induksi matematika dibagi menjadi dua jenis yaitu; untuk membuktikan deret bilangan dan bilangan hasil pembagian.

Deret Bilangan

Sebelum lanjut ke pembahasan pembuktian deret bilangan, ada beberapa hal perlu kita pahami terkait dengan deret, yakni;

Contoh deret bilangan:

Jawab:

1. Langkah dasar:

Karena P(1) = Benar, maka berlaku P(n) benar.

2. Langkah Induksi

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P(K +1) dengan k ≥ n.

Sehingga,

Karena P(k + 1) mengikuti bentuk dari pernyataan P(n), maka P(k) benilai benar. Jadi, pernyataan; Bernilai benar untuk semua bilangan n ≥ 1.

Bilangan  Bulat Hasil Pembagian

Sebuah bilangan bisa dikatakan habis dibagi jika hasil dari pembagian tersebut berupa bilangan bulat. Pernyataan “a habis dibagi oleh b”. bersinonim dengan pernyataan:

• a kelipatan b

• b membagi a
• b faktor dari a.

jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.

Contoh soal untuk bilangan bulat hasil pembagian:

Buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan positif n!

Jawab:

1. Langkah dasar:

P(1) = 5¹ -1 = 4

karena 4 habis dibagi dengan 4, maka P(1) = 1 benar, sehingga P(n) benar.

2. Langkah induksi:

Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk P (k + 1) dengan k ≥ n.

P(k) = 5^k – 1 benar habis dibagi 4

Sehingga:

Karena 4 x 5^k dan 5^k – 1 habis dibagi oleh 4, maka 5^k+1 – 1 habis dibagi 4, sehingga pernyataan 5ⁿ – 1 nilainya benar untuk semua bilangan positif n.

Nah sobat, demikianlah materi mengenai Induksi Matematika : Prinsip dan Jenis-jenisnya. Sedikit yang dapat kami sampaikan, semoga bermanfaat dan sampai jumpa lagi pada kesempatan yang lain 😀😀😀