RumusHitung.Com

Hai guys, bagaimana kabar kalian? Tetap sehat dan semangat yaa. Nah, kali ini Rumushitung akan mengajak kalian untuk membahas materi pelajaran matematika. Yang akan dibahas adalah Rumus Identitas Trigonometri beserta Contoh Soal. Materi ini telah dipelajari di SMA, baik kelas 10, 11, maupun kelas 12. Langsung saja, kita bahas bersama-sama.

Apakah kalian tahu apa itu trigonometri? Trigonometri adalah cabang dalam bidang matematika yang berhubungan dengan sudut-sudut pada segitiga. Terdapat rumus dasar atau identitas dalam trigonometri. Nah, kita akan membahas identitas trigonometri agar kalian dapat memahami lebih dalam lagi.

Identitas trigonometri berguna setiap kali fungsi trigonometri terlibat dalam persamaan. Secara geometris, identitas ini melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut. Ada berbagai identitas berbeda yang melibatkan panjang sisi serta sudut segitiga. Identitas trigonometri berlaku hanya untuk segitiga siku-siku.

Ada 6 (enam) rasio trigonometri dasar, antara lain sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen. Semua rasio trigonometri ini ditentukan dengan menggunakan sisi-sisi segitiga siku-siku, seperti sisi yang berdekatan, sisi berlawanan, dan sisi miring. Semua identitas trigonometri dasar diturunkan dari enam rasio trigonometri. Mari kita bahas daftar rumus identitas trigonometri, turunannya, dan contoh soal menggunakan identitas penting.

Daftar Rumus Identitas Trigonometri Lengkap

Ada berbagai identitas dalam trigonometri yang digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah trigonometri. Berikut ini adalah identitas trigonometri dasar diantaranya :

Identitas Timbal Balik

Sin θ = 1 / Csc θ atau Csc θ = 1 / Sin θ
Cos θ = 1 / Sec θ atau Sec θ = 1 / Cos θ
Tan θ = 1 / Cot θ atau Cot θ = 1 / Tan θ

Identitas Pythagoras

sin² a + cos² a = 1
1 + tan² a = sec² a
cosec² a = 1 + cot² a

Identitas Rasio

Tan θ = Sin θ / Cos θ
Cot θ = Cos θ / Sin θ

Identitas Sudut Berlawanan

Sin (-θ) = -Sin θ
Cos (-θ) = Cos θ
Tan (-θ) = -Tan θ
Cot (-θ) = -Cot θ
Sec (-θ) = Sec θ
Csc (-θ) = -Csc θ

Identitas Sudut Pelengkap

Sin (90 – θ) = Cos θ
Cos (90 – θ) = Sin θ
Tan (90 – θ) = Cot θ
Cot (90 – θ) = Tan θ
Sec (90 – θ) = Csc θ
Csc (90 – θ) = Sec θ

Jumlah Sudut dan Identitas Selisih

Pertimbangkan dua sudut, α dan β, jumlah trigonometri dan identitas perbedaan adalah sebagai berikut :

sin (α + β) = sin α . cos β + cos α . sin β
sin (α – β) = sin α . cos β – cos α . sin β
cos (α + β) = cos α . cos β – sin α . sin β
cos (α – β) = cos α . cos β + sin α . sin β
tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α . tan β)
tan (α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α . tan β)

Rumus Identitas Trigonometri

Demikian pula, persamaan yang melibatkan rasio trigonometri suatu sudut mewakili identitas trigonometri.
Diskusi mendatang mencakup identitas trigonometri dasar dan buktinya.
Pertimbangkan sudut siku-siku ∆ABC yang sudut kanan di B seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

Menerapkan Rumus Teorema Pythagoras untuk segitiga tertentu :

(sisi miring) 2 = (alas) 2 + (tegak lurus) 2

AC² = AB² + BC² ……………………… .. (1)

Mari kita buktikan tiga identitas trigonometri Pythagoras, yang umum digunakan.

Identitas Trigonometri 1

Sekarang, bagi setiap suku persamaan (1) dengan AC2, kita punya

AC² / AC² = AB² / AC² + BC² / AC²

⇒AB² / AC² + BC² / AC² = 1

⇒ (AB / AC)² + (BC / AC)² = 1 …………………………. (2)

Kami tahu itu,
(AB / AC)² = cos a dan (BC / AC)² = sin a, maka persamaan (2) dapat ditulis sebagai :

sin² a + cos² a = 1

Identitas 1 berlaku untuk sudut 0 ≤ a ≤ 90.

Identitas Trigonometri 2

Sekarang Membagi persamaan (1) dengan AB², diperoleh :

AC² / AB² = AB² / AB² + BC² / AB²

⇒AC² / AB² = 1 + BC² / AB²

⇒ (AC / AB)² = 1+ (BC / AB)² …………………… (3)

Dengan mengacu pada rasio trigonometri maka dapat diketahui bahwa :

AC / AB = sisi miring / sisi berdekatan dengan sudut a = sec a

Demikian pula,

BC / AB = sisi berlawanan dengan sudut a / sisi berdekatan dengan sudut a = tan a

Mengganti nilai AC / AB dan BC / AB dalam persamaan (3) memberikan,

1 + tan² a = sec² a

Seperti diketahui bahwa tan a tidak ditentukan untuk a = 90°, oleh karena itu identitas 2 yang diperoleh di atas adalah benar untuk 0 ≤ A <90.

Identitas Trigonometri 3

Membagi persamaan (1) dengan BC², diperoleh :

AC² / BC² = AB² / BC² + BC² / BC²

⇒AC² / BC² = AB² / BC² + 1

⇒ (AC / BC)² = (AB / BC)² + 1 …………………… (iv)

Dengan mengacu pada rasio trigonometri maka dapat diketahui bahwa :

AC / BC = sisi miring / sisi berlawanan dengan sudut a = cosec a

Juga,

AB / BC = sisi berdekatan dengan sudut a / sisi berlawanan dengan sudut a = cot a

Mengganti nilai AC / BC dan AB / BC dalam persamaan (4) memberikan,

cosec² a = 1 + cot² a

Karena cosec a dan cot a tidak ditentukan untuk a = 0 °, maka identitas 3 yang diperoleh benar untuk semua nilai ‘a’ kecuali pada a = 0 °. Oleh karena itu, identitas benar untuk semua itu, 0 ° <a ≤ 90 °.

Identitas Segitiga

Jika identitas atau persamaan dapat diterapkan untuk semua segitiga dan tidak hanya untuk segitiga siku-siku, maka itu adalah identitas segitiga. Identitas ini akan mencakup :

• Sinus
• Cosinus
• Tangen

Jika A, B dan C adalah simpul dari sebuah segitiga dan a, b dan c adalah sisinya masing-masing, maka :

Menurut aturan sinus :

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Atau

sin A / a = sin B / b = sin C / c

Menurut aturan cosinus :

c² = a² + b² − 2ab cos C

Atau

cos C = (a² + b² − c²) / 2ab

Menurut aturan tangen :

(a − b) / (a + b) = tan [(A − B) / 2] / tan [(A + B) / 2]

Contoh Soal

Di bawah ini contoh soal pembuktian trigonometri dengan penyelesaiannya menggunakan identitas trigonometri.

Contoh 1 : Misalkan segitiga ABC siku-siku di B. Panjang alas AB = 4 cm dan panjang tegak lurus BC = 3 cm. Hitung nilai dari sec A !

Pembahasannya :

Sebagai panjang tegak lurus dan alas yang diberikan, dapat disimpulkan bahwa :
tan A = tegak lurus / alas = 3/4

Sekarang, menggunakan identitas trigonometri : 1 + tan² a = sec² a

sec² A = 1 + (3/4)² = 25/16
sec A = ± 5/4

Karena rasio panjang adalah positif, maka sec A = 5/4.

Contoh 2 : Buktikan : (1 – sin A) / (1 + sin A) = (sec A – tan A)²

Pembahasannya :

Mari kita ambil ruas kiri persamaan tersebut.

= (1 – sin A) / (1 + sin A)

Kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 – sin A)

= (1 – sin A)² / (1 – sin A) (1 + sin A)
= (1 – sin A)² / (1 – sin² A)

Karena, sin² A + cos² A = 1 ⇒ cos² A = 1 – sin² A, maka :

= (1 – sin A)² / (cos² A),
= [(1 – sin A) / cos A]²

Pisah menjadi 2 pecahan :

= [(1 / cos A) – (sin A / cos A)]²
= (sec A – tan A)² (Benar)

Contoh 3 : Buktikan bahwa : [1 / (cosec A – cot A)] – (1 / sin A) = (1 / sin A) – [1 / (cosec A + cot A)]

Pembahasan :

[1 / (cosec A – cot A)] – (1 / sin A) = (1 / sin A) – [1 / (cosec A + cot A)]

Atur ulang agar menjadi persamaan yang mudah di tentukan :

[1 / (cosec A – cot A)] + [1 / (cosec A + cot A)] = 2 / sin A

Sekarang mari kita lihat :

= [1 / (cosec A – cot A)] + [1 / (cosec A + cot A)]
= (cosec A + cot A + cosec A – cot A) / (cosec² A – cot² A)

Karena, cosec² A = 1 + cot² A ⇒ cosec² A – cot² A = 1, maka :

= (2 cosec A) / 1
= 2 / sin A [Karena, cosec A = 1 / sin A] (Benar)

Pertanyaan Identitas Trigonometri

Kerjakan soal latihan di bawah ini berdasarkan identitas trigonometri yang akan membantu dalam memahami dan menerapkan rumus dengan cara yang efektif.

1. Nyatakan rasio cos A, tan A, dan sec A dalam suku-suku dari sin A.
2. Buktikan bahwa sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) = 1.
3. Tentukan nilai dari 7 sec² A – 7 tan² A.
4. Buktikan bahwa (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A

Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa saja tiga fungsi dasar dalam trigonometri?

Tiga fungsi dasar trigonometri adalah Sinus, Kosinus, dan Garis Singgung.
Sin θ = Depan (sisi berlawanan) / Sisi Miring
Cos θ = Samping (sisi berdekatan) / Sisi Miring
Tan θ = Depan / Samping

Sebutkan rumus identitas trigonometri dasar?

Identitas trigonometri dasar antara lain :

• Csc θ = 1 / Sin θ
• Sec θ = 1 / Cos θ
• Cot θ = 1 / Tan θ
• Tan θ = Sin θ / Cos θ
• Cot θ = Cos θ / Sin θ
• Sin² θ + Cos² θ = 1
• Sec² θ = 1 + tan² θ
• Csc² θ = 1 + Cot² θ

Apa saja identitas Pythagoras dalam trigonometri?

Ada 3 identitas Pythagoras, antara lain :

sin² a + cos² a = 1
1 + tan² a = sec² a
csc² a = 1 + cot² a

Apa kebalikan dari fungsi sinus?

Kebalikan dari fungsi sinus adalah fungsi cosec.

Berapakah nilai dari sin 2A?

Sin 2A = 2 Sin A . Cos A.
Sin 2A = (2 tan A) / (1 + tan² A)