RumusHitung.Com

Hai semuanya, selamat datang di laman RumusHitung.com tempat belajar rumus-rumus matematika. Disini rumushitung ada update artikel nih. Artikel ini membahas tentang Rumus Persamaan Trigonometri Versi RumusHitung. Pada pembelajaran ini sudah pernah kita pelajari saat SMA kelas 10, 11 dan 12. Simak penjelasannya agar kalian dapat memahami dengan mudah.

Definisi / Pengertian

Trigonometri berasal dari kata Yunani, trigonon (segitiga) dan metron (ukuran). Menurut istilah, trigonometri adalah cabang Matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut sisi-sisi segitiga. Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih rasio trigonometri sudut yang tidak diketahui. Ini dinyatakan sebagai rasio dari sudut sinus(sin), cosinus(cos), tangen(tan), cotangen(cot), secan(sec), cosecan(csc). Misalnya, cos² x + 5 sin x = 0 adalah persamaan trigonometri. Semua kemungkinan nilai yang memenuhi persamaan trigonometri merupakan solusi dari persamaan trigonometri yang diberikan.

Rumus Persamaan Trigonometri

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini. Dari gambar tersebut, sudut A adalah sudut lancip.

Dari gambar di atas, rasio trigonometri berikut dapat dikurangkan.

• Sin A = Depan / Miring = BC / AB
• Cos A = Samping / Miring = AC / AB
• Tan A = Depan / Samping = BC / AC
  Tan A = Sin A / Cos A
• Csc A = Miring / Depan = AB / BC
  Csc A = 1 / Sin A
• Sec A = Miring / Samping = AB / AC
  Sec A = 1 / Cos A
• Cot A = Samping / Depan = AC / BC
  Cot A = 1 / Tan A = Cos A / Sin A

Masing-masing rasio trigonometri dapat dievaluasi pada sudut yang berbeda. Beberapa sudut standar diberikan dalam tabel di bawah untuk masing-masing rasio. Dari sudut standar ini, kita dapat memperluas nilai rasio trigonometri untuk setiap sudut.

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Saling Melengkapi

Dari gambar segitiga di atas terlihat bahwa ∠A + ∠B = 90° atau ∠B = 90° – ∠A. Perhatikan nilai Sinus B, yaitu Sin B = Sin (90° – ∠A) = AC / AB. Jadi, kesimpulannya adalah Sin B = Cos A.

Singkatnya, Sin (90° – ∠A) = cos A. Demikian pula, kita dapat mendefinisikan rasio trigonometri lainnya untuk sudut yang saling melengkapi sebagai berikut :

• Sin (90° – ∠A) = Cos A
• Cos (90° – ∠A) = Sin A
• Tan (90° – ∠A) = Cot A
• Cot (90° – ∠A) = Tan A
• Sec (90° – ∠A) = Csc A
• Csc (90° – ∠A) = Sec A

Identitas Trigonometri

Pada gambar di atas, jelas bahwa segitiga siku-siku ABC memiliki sifat Pythagoras AB² = AC² + BC²

Membagi kedua ruas dengan AB², kita mendapatkan Sin² A + Cos² A = 1.

Ini adalah identitas yang sangat mendasar dalam trigonometri. Demikian pula, kita dapat menyimpulkan identitas lain.

• Sin² A + Cos² A = 1
• Sec² A – Tan² A = 1
• Csc² A – Cot² A = 1

Rumus Trigonometri

Ada beberapa rumus penting yang harus kita ingat untuk menyelesaikan berbagai masalah trigonometri. Berikut rumusnya :

• Sin (-x) = – Sin x
• Cos (-x) = Cos x
• Sin (x + y) = Sin x.Cos y + Cos x.Sin y
• Sin (x – y) = Sin x.Cos y – Cox x.Sin y
• Cos (x + y) = Cos x.Cos y – Sin x.Sin y
• Cos (x – y) = Cos x.Cos y + Sin x.Sin y
• Tan (x + y) = (Tan x + Tan y) / (1 – Tan x.Tan y)
• Tan (x – y) = (Tan x – Tan y) / (1 + Tan x.Tan y)
• Cot (x + y) = (Cot y.Cot x – 1) / (Cot y + Cot x)
• Cot (x – y) = (Cot y.Cot x + 1) / (Cot y – Cot x)
• Sin 2x = 2 Sin x.Cos x
• Sin 2x = 2 Tan x / (1 + Tan² x)
• Cos 2x = Cos² x – Sin² x
• Cos 2x = 2 Cos² x – 1
• Cos 2x = 1 – 2 Sin² x
• Cos 2x = (1 – Tan² x) / (1 + Tan² x)
• Tan 2x = 2 Tan x / (1 – Tan² x)
• Sin 3x = 3 Sin x – 4 Sin³ x
• Cos 3x = 4 Cos³ x – 3 Cos x
• Tan 3x = (3 Tan x – Tan³ x) / (1 – 3 Tan² x)
• Sin x + Sin y = 2 Sin [(x+y)/2] Cos [(x-y)/2]
• Sin x – Sin y = 2 Cos [(x+y)/2] Sin [(x-y)/2]
• Cos x + Cos y = 2 Cos [(x+y)/2] Cos [(x-y)/2]
• Cos x – Cos y = – 2 Sin [(x+y)/2] Sin [(x-y)/2]
• Sin x.Cos y = [Sin (x+y) + Sin (x-y)]/2
• Cos x.Sin y = [Sin (x+y) – Sin (x-y)]/2
• Cos x.Cos y = [Cos (x+y) + Cos (x-y)]/2
• Sin x.Sin y = – [Cos (x+y) – Cos (x-y)]/2
• Cos (180° – x) = – Cos x
• Cos (180° + x) = – Cos x
• Sin (180° – x) = Sin x
• Sin (180° + x) = – Sin x

Persamaan Trigonometri dan Solusinya

Persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri suatu variabel dikenal sebagai Persamaan Trigonometri. Contoh : cos² x + 5 cos x – 7 = 0 , sin 5x + 3 sin² x = 6 , dst.
Solusi persamaan-persamaan ini untuk fungsi trigonometri pada variabel x, di mana x terletak di antara 0 ≤ x ≤ 2π disebut sebagai solusi utama. Jika solusinya mengandung bilangan bulat ‘n’ di dalamnya, itu disebut sebagai solusi umum.

• Sin x = Sin α, solusi :
  • x₁ = α + k.360°
  • x₂ = (180° – α) + k.360°
• Cos x = Cos α, solusi :
  • x₁ = α + k.360°
  • x₂ = – α + k.360°
• Tan x = Tan α, solusi :
  • x = α + k.180°

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu Trigonometri?
Menurut bahasa, trigonometri berasal dari kata Yunani, trigonon (segitiga) dan metron (ukuran). Menurut istilah, trigonometri adalah cabang Matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut sisi-sisi segitiga.

Apakah persamaan trigonometri itu?
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih rasio trigonometri sudut yang tidak diketahui.

Tentukan himpunan penyelesaian dari Sin x = √3/2 dengan 0° ≤ x ≤ 360° !
Sin x = √3/2
Sin x = Sin 60°

x₁ = 60° + k.360°

• Untuk k = 0,
  x₁ = 60° + 0(360°)
  x₁ = 60° (memenuhi)
• Untuk k = 1,
  x₂ = 60° + 1(360°)
  x₂ = 420° (tidak memenuhi)

x₂ = (180° – 60°) + k.360°

• Untuk k = 0,
  x₂ = (180° – 60°) + 0(360°)
  x₂ = 120° (memenuhi)
• Untuk k = 1,
  x₂ = (180° – 60°) + 1(360°)
  x₂ = 480° (tidak memenuhi)

Jadi, HP = {60°, 120°}

Baca juga : Persamaan Logaritma : Pengertian dan Bentuk

Demikian pembahasan kali ini mengenai rumus persamaan trigonometri. Semoga bermanfaat, dapat menambah ilmu dan wawasan kalian. Sekian terima kasih.