RumusHitung.Com

RumusHitung.com – Hai sobat hitung, rumushitung ada update artikel nih. Isinya membahas tentang Rumus Persamaan Kuadrat, Pengertian, Sifat, dan Metode Penyelesaian. Disini rumushitung akan menjelaskan apa itu persamaan kuadrat, apa saja jenis persamaan kuadrat, bagaimana rumus persamaan kuadrat, dan beberapa contoh soal persamaan kuadrat. Simak penjelasannya dengan seksama.

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki variabel berpangkat dua atau aljabar derajat dua dan berbentuk ax² + bx + c = 0. Kata “Kuadrat” berasal dari kata “Quad” yang berarti persegi. Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah “persamaan derajat 2”. Ada banyak skenario di mana persamaan kuadrat digunakan. Tahukah kalian bahwa ketika sebuah roket diluncurkan, lintasannya digambarkan oleh persamaan kuadrat? Selanjutnya, persamaan kuadrat memiliki banyak aplikasi dalam fisika, teknik, astronomi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan derajat dua di x (variabel) yang memiliki dua jawaban untuk x. Kedua jawaban untuk x ini juga disebut akar persamaan kuadrat dan diberi tanda (α, β). Kita akan belajar lebih banyak tentang akar persamaan kuadrat di bawah ini.

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, persamaan kuadrat adalah persamaan berpangkat dua / aljabar derajat dua dalam variabel. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana a dan b adalah koefisien, x adalah variabel, dan c adalah konstanta. Syarat pertama agar suatu persamaan menjadi persamaan kuadrat adalah koefisien x² adalah suku bukan nol (a ≠ 0). Untuk menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum, suku x² ditulis terlebih dahulu, diikuti suku x, dan terakhir konstanta. Nilai numerik dari a, b dan c umumnya tidak ditulis sebagai pecahan atau desimal, tetapi ditulis sebagai nilai integral.

Selanjutnya dalam masalah matematika nyata persamaan kuadrat disajikan dalam bentuk yang berbeda : (x – 1)(x + 2) = 0, -x² = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x, x³ = x(x² + x – 3). Semua persamaan ini perlu diubah ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat sebelum melakukan operasi lebih lanjut.

Apa itu Rumus Kuadrat?

Rumus kuadrat adalah cara paling sederhana untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Ada persamaan kuadrat tertentu yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah, dan di sini kita dapat dengan mudah menggunakan rumus kuadrat ini untuk menemukan akar-akarnya secepat mungkin. Akar persamaan kuadrat selanjutnya membantu menemukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat. Dua akar dalam rumus kuadrat disajikan sebagai persamaan tunggal. Tanda positif dan tanda negatif dapat digunakan secara alternatif untuk mendapatkan dua akar persamaan yang berbeda.

Rumus Persamaan Kuadrat Penting

Daftar rumus penting berikut ini berguna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

• Bentuk umum persamaan kuadrat :
  ax² + bx + c = 0
• Diskriminan persamaan kuadrat :
  D = b² – 4ac
• Untuk D > 0 akar-akarnya nyata dan berbeda.
  D = 0 akar-akarnya nyata dan sama.
  D < 0 akarnya tidak ada, atau akarnya imajiner.
• Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat :
  
• Jumlah akar-akar persamaan kuadrat :
  α + β = -b/a
• Hasil kali akar persamaan kuadrat :
  αβ = c/a
• Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar α, β :
  x² – (α + β)x + αβ = 0
• Syarat persamaan kuadrat :
  a₁x² + b₁x + c₁ = 0, dan a₂x² + b₂x + c₂ = 0 memiliki akar yang sama
  
• Untuk nilai positif dari a (a > 0), persamaan kuadrat f(x) = ax² + bx + c memiliki nilai minimum pada x = -b/2a
• Untk nilai negatif dari a (a < 0), persamaan kuadrat f(x) = ax² + bx + c memiliki nilai maksimum pada x = -b/2a
• Untuk a > 0, rentang persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah [(b² – 4ac)/4a, ∞]
• Untuk a > 0, rentang persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah [∞, -(b² – 4ac)/4a]

Bukti Rumus Kuadrat

Terdapat persamaan kuadrat arbitrer : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Untuk menentukan akar persamaan ini, kita akan melanjutkan perumusannya sebagai berikut :

ax² + bx = -c ⇒ x² + bx/a = -c/a

Sekarang, kita nyatakan ruas kiri sebagai kuadrat sempurna, dengan memperkenalkan suku baru (b/2a)² pada kedua ruas :

x²+ bx/a + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Sisi kiri sekarang menjadi persegi sempurna :

(x + b/2a)² = -c/a + b²/4a² (x + b/2a)² = (b² – 4ac)/4a²

Sekarang kita dapat mengambil akar kuadrat untuk mendapatkan hasilnya :

x + b/2a = +√(b² – 4ac)/2a

x = (-b + √(b² – 4ac))/2a

Jadi, dengan melengkapi kuadrat, kita dapat memisahkan x dan memperoleh dua akar persamaan.

Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah dua nilai x (variabel), yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat disebut dengan simbol umum, yaitu alfa (α), dan beta (β). Namun, biasanya akar persamaan kuadrat bisa menggunakan simbol lain. Akar persamaan kuadrat ini juga disebut nol persamaan. Di sini kita akan belajar lebih banyak tentang cara menemukan sifat akar persamaan kuadrat tanpa benar-benar menemukan akar persamaan. Dan juga periksa rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali dari akar persamaan.

Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Sifat akar persamaan kuadrat dapat ditemukan tanpa benar-benar menemukan akar (α, β) dari persamaan tersebut. Ini dimungkinkan dengan mengambil nilai diskriminan, yang merupakan bagian dari rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Nilai b² – 4ac disebut diskriminan persamaan kuadrat, dan dinyatakan sebagai “D”. Berdasarkan nilai diskriminan sifat akar persamaan kuadrat dapat diprediksi.

Diskriminan D = b² – 4ac

D > 0, akar-akarnya nyata dan berbeda
D = 0, akar-akarnya nyata dan sama.
D < 0, akarnya tidak ada atau akarnya imajiner.

Hubungan Antara Koefisien dan Akar Persamaan Kuadrat

Koefisien x², x, dan konstanta pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 berguna untuk mempelajari lebih lanjut tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat dapat langsung dihitung dari persamaan, tanpa benar-benar menemukan akar persamaan kuadrat. Jumlah akar persamaan kuadrat sama dengan negatif dari koefisien x dibagi dengan koefisien x² (-b/a). Hasil kali akar persamaan kuadrat sama dengan konstanta dibagi dengan koefisien x² (c/a). Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah sebagai berikut.

• Jumlah akar : α + β = -b/a
• Hasil kali akar : αβ = c/a

Persamaan kuadrat juga dapat dibentuk untuk akar-akar persamaan yang diberikan. Jika α, β adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut.

x² – (α + β)x + αβ = 0

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan untuk mendapatkan dua nilai x atau dua akar persamaan. Ada 4 metode berbeda untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Empat metode penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

• Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
• Metode Rumus Kuadrat Untuk Menentukan Akar
• Metode Menyelesaikan Kuadrat
• Metode Grafik Untuk Menentukan Akar

Mari kita lihat secara rinci masing-masing metode di atas untuk memahami cara penggunaannya.

Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Faktorisasi persamaan kuadrat mengikuti urutan langkah-langkah. Untuk bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, kita harus terlebih dahulu membagi suku tengah menjadi dua suku, sehingga hasil kali suku sama dengan konstanta. Selanjutnya, kita dapat mengambil istilah umum dari istilah yang tersedia, untuk akhirnya mendapatkan faktor yang diperlukan. Untuk memahami faktorisasi, bentuk umum persamaan kuadrat dapat disajikan sebagai berikut.

x² + (a + b)x + ab = 0
x² + ax + bx + ab = 0
x(x + a) + b(x + a) = 0
(x + a)(x + b) = 0

Mari kita memahami faktorisasi melalui contoh di bawah ini.

x² + 5x + 6 = 0
x² + (2 + 3)x + 2(3) = 0
x² + 2x + 3x + 6 = 0
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
(x + 2)(x + 3) = 0

Dengan demikian diperoleh dua faktor persamaan kuadrat (x + 2) dan (x + 3).

Rumus Kuadrat Untuk Menentukan Akar

Persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan melalui metode faktorisasi, dapat diselesaikan dengan bantuan rumus kuadrat. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan istilah dari bentuk umum persamaan kuadrat. Melalui rumus di bawah ini kita dapat memperoleh dua akar x dengan terlebih dahulu menggunakan tanda positif dalam rumus dan kemudian menggunakan tanda negatif. Persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan rumus ini.

Lebih jauh dari dua metode penyelesaian persamaan kuadrat yang disebutkan di atas, ada metode penting lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode melengkapi kuadrat untuk persamaan kuadrat juga berguna untuk menemukan akar persamaan. Metode ini mencakup banyak perhitungan aljabar dan karenanya telah dijelaskan sebagai topik terpisah.

Metode Menyelesaikan Kuadrat

Metode menyelesaikan kuadrat untuk persamaan kuadrat, adalah dengan kuadratkan dan sederhanakan secara aljabar, untuk mendapatkan akar persamaan yang diperlukan. Perhatikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Untuk menentukan akar-akar persamaan ini, kita sederhanakan sebagai berikut :

ax² + bx + c = 0
ax² + bx = -c
x² + bx/a = -c/a

Sekarang, kita nyatakan ruas kiri sebagai kuadrat sempurna, kemudian tambahkan suku baru (b/2a)² pada kedua ruas :

x² + bx/a + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
(x + b/2a)² = -c/a + b² / 4a²
(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²
x + b/2a = ±√(b²- 4ac) / 2a

Sekarang dengan metode melengkapi kuadrat ini, kita dapat dengan tepat menghasilkan nilai akar persamaan. Selanjutnya pada penyederhanaan dan pengambilan akar kuadrat, dua kemungkinan akar persamaan kuadrat adalah, x = (-b + (b² – 4ac))/2a. Di sini tanda positif (+) memberikan satu akar dan tanda negatif (-) memberikan akar lain dari persamaan kuadrat. Umumnya, metode terperinci ini dihindari, dan hanya rumus yang digunakan untuk mendapatkan akar yang diperlukan.

Metode Grafik untuk Menentukan Akar

Grafik persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diperoleh dengan menyatakan persamaan kuadrat sebagai fungsi y = ax² + bx + c. Selanjutnya dalam memecahkan dan mensubstitusi nilai x, kita dapat memperoleh nilai y, kita dapat memperoleh banyak poin. Titik-titik ini dapat disajikan dalam sumbu koordinat untuk mendapatkan grafik berbentuk parabola untuk persamaan kuadrat.

Titik di mana grafik memotong sumbu x merupakan solusi dari persamaan kuadrat. Titik-titik ini juga dapat diperoleh secara aljabar dengan mengubah nilai y menjadi 0 dalam fungsi y = ax² + bx + c dan menghasilkan nilai x.

Tips dan Trik Memecahkan Persamaan Kuadrat

Beberapa tips dan trik yang diberikan di bawah ini tentang persamaan kuadrat sangat membantu untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan lebih mudah.

• Persamaan kuadrat umumnya diselesaikan melalui faktorisasi. Tetapi dalam kasus ketika tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi, gunakan rumus kuadrat.
• Akar persamaan kuadrat juga disebut nol persamaan.
• Untuk persamaan kuadrat yang memiliki nilai diskriminan negatif, akar-akarnya direpresentasikan dengan bantuan bilangan kompleks.
• Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menemukan ekspresi aljabar yang lebih tinggi yang melibatkan akar-akar ini.

Baca juga :

• Latihan Soal Akar-Akar Persamaan Kuadrat dan Pembahasan
• Cara Cepat Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Baru
• Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Demikian pembahasan mengenai persamaan kuadrat, semoga bermanfaat dan dapat menambah ilmu, wawasan, dan pengetahun untuk kalian. Sekian terima kasih.