Hai sobat, selamat datang di laman kami RumusHitung.com, yang mengajarkan tentang beberapa mata pelajaran yang berhubungan dengan rumus-rumus matematika. Nah, kali ini rumushitung akan mengajak kalian mempelajari materi tentang Rumus Barisan Geometri, Definisi/Pengertian, dan Contoh Soal. Disini kalian akan diajarkan bagaimana cara menentukan barisan geometri dengan mudah. Materi akan dirangkum sedemikian hingga dan di modifikasi agar kalian mudah untuk memahaminya. Langsung saja, simak penjelasan di bawah ini.
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri (juga dikenal sebagai deret geometri) adalah jenis barisan di mana setiap suku kecuali suku pertama dihasilkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tidak nol tetap yang disebut dengan rasio (r).
Terlebih lagi, jika kita mengambil suku apa pun dalam barisan geometri (kecuali suku pertama) dan membaginya dengan suku sebelumnya, hasil bagi selalu sama. Hasil bagi konstan atau tetap ini disebut sebagai rasio dan biasanya dilambangkan dengan huruf “r”.
Cara Menentukan Rumus Barisan Geometri
Untuk menentukan barisan geometri, kita mulai dengan menulis suku pertama. Kemudian kita kalikan suku pertama dengan bilangan tak nol tetap untuk mendapatkan suku kedua dari barisan geometri.
Untuk mendapatkan barisan ketiga, kita mengambil suku kedua dan mengalikannya dengan rasio umum. Mungkin kalian melihat polanya sekarang. Untuk mendapatkan suku berikutnya dari barisan, kalikan suku sebelumnya dengan bilangan konstan bukan nol yang kita gunakan sebagai pengali bersama.
Supaya lebih paham, mari kita ambil contoh. Misalkan kita memiliki barisan geometri dimana
Suku pertama (U₁ atau a) adalah 3
dan
Rasio (r) adalah 2
Jadi, jika suku pertama adalah 3, maka diperoleh :
U₁ = a = 3
Suku kedua dihasilkan dengan mengalikan suku pertama dan rasio, maka diperoleh :
U₂ = 3(2) = 6
Suku ketiga dihasilkan dengan mengalikan suku kedua dan rasio, maka :
U₃ = 3(2)(2) = 12
Suku keempat dihasilkan dengan mengalikan suku ketiga dan rasio, maka :
U₄ = 3(2)(2)(2) = 24
Dan seterusnya sampai batas suku yang ditentukan.
Jadi sekarang bagaimana kita bisa menafsirkan dan menggunakan contoh di atas untuk mengubahnya menjadi rumus? Perhatikan bahwa suku pertama (a₁) selalu ada di setiap suku barisan. Dengan cara yang sama, rasio (r) juga dilampirkan di setiap suku ke suatu pangkat. Perhatikan :
- Jika n adalah 1 pangkat dari r, maka menghasilkan 0
- Jika n adalah 2 pangkat dari r, maka menghasilkan 1
- Jika n adalah 3 pangkat dari r, maka menghasilkan 2
- Jika n adalah 4 pangkat dari r, maka menghasilkan 3
- Jika n adalah 5 pangkat dari r, maka menghasilkan 4
Oleh karena itu, sekarang kita dapat menyimpulkan bahwa suku ke-n (Un) dari barisan geometri sama dengan suku pertama a₁ dikalikan dengan rasio (r) yang berpangkat n – 1.
Dimana,
Un = Suku ke-n
a = suku pertama (U₁)
r = rasio
Di bawah ini adalah ilustrasi singkat tentang bagaimana kita mendapatkan rumus barisan geometri.
Contoh Penggunaan Rumus Barisan Geometri
Untuk mempelajari dan membiasakan diri dengan rumus cepat, kita akan mulai dengan masalah yang mudah atau mendasar kemudian secara bertahap berkembang ke yang lebih menantang. Jangan ragu untuk melewati masalah yang sudah kita ketahui dan masuk ke masalah yang ingin kita selesaikan.
Baca juga : Matematika Kelas 11: Deret Geometri Tak Hingga
Contoh 1 : Tentukan apakah setiap barisan itu geometri atau tidak!
a) Urutan barisan I : 3, 12, 48, 192, ….
b) Urutan barisan II : -1, 2, -4, 8, ….
c) Urutan barisan III : 4, 8, 12, 16, ….
d) Urutan barisan IV : 1/3, 1/2, 3/4, 9/8, ….
Pembahasan :
a) Barisan I merupakan barisan geometri karena memiliki perbandingan yang sama antara suku-suku yang berurutan dengan rasionya adalah 4.
b) Barisan II juga merupakan barisan geometri karena suku-suku yang berdekatan memiliki rasio yang sama yaitu -2.
Perhatikan bahwa jika suatu barisan geometri memiliki rasio persekutuan negatif, barisan tersebut akan memiliki tanda-tanda yang berselang-seling. Itu berarti tanda-tanda istilah itu bolak-balik antara positif dan negatif.
c) Barisan III bukan barisan geometri karena suku-suku yang berurutan tidak memiliki rasio yang sama.
Dari barisan III terdapat jenis urutan yang lain. Perhatikan, ada perbedaan umum antara suku berurutan dengan selisih, yaitu 4.
- 8 – 4 = 4
- 12 – 8 = 4
- 16 – 12 = 4
Oleh karena itu, barisan III ini disebut sebagai barisan aritmatika.
d) Barisan IV merupakan barisan geometri karena memiliki rasio persekutuan 3/2.
Ingatlah bahwa ketika kita membagi pecahan, kita harus mengubah dari pembagian menjadi perkalian. Ambil dividennya (pecahan yang dibagi) dan kalikan dengan kebalikan dari pembagi. Kemudian, kita akan dapat hasilnya.
Contoh 2 : Tentukan barisan geometri dengan lima (5) suku yang suku pertamanya 0,5 dengan rasio 6!
Pembahasan :
Suku pertama, yaitu a = 0,5. Jadi, kita harus menentukan empat suku lainnya. Kita dapat menggunakan rasio untuk menghasilkan empat suku berikutnya. Rasio yang dalam hal ini adalah 6 akan berfungsi sebagai pengali tetap untuk menghitung sisa suku dalam barisan.
Suku pertama adalah 0,5. Suku kedua adalah suku pertama dikalikan dengan rasio 6 sama dengan 3. Suku ketiga adalah suku kedua dikalikan 6 sama dengan 18, dan seterusnya.
U₁ = a = 0,5
U₂ = 0,5 x 6 = 3
U₃ = 3 x 6 = 18
U₄ = 18 x 6 = 108
U₅ = 108 x 6 = 648
Jadi, kelima suku dalam barisan geometri antara lain 0,5; 3; 18; 108; 648
Contoh 3 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri : 16, 12, 9, …. !
Pembahasan :
Untuk menulis rumus suku ke-n, kita memerlukan nilai suku pertama dan rasio. Karena kita diberikan barisan geometri dari pertanyaan, maka suku pertama (a) dapat dengan mudah ditentukan.
Suku pertama barisan tersebut adalah 16.
Untuk mencari rasio, kita bagi setiap suku dengan suku sebelumnya. Karena hasil bagi adalah sama, maka itu menjadi rasio kita. Dalam kasus ini, kita memiliki r = 3/4.
Substitusikan suku pertama dan rasio ke dalam rumus barisan geometri :
Dari hasil di atas, kita juga bisa mendapatkan hasil suku ke berapa jika diketahui “n” nya.
Itulah pembahasan mengenai rumus barisan geometri. Semoga dapat menambah pemahaman dalam menyelesaikan permasalahan soal-soal materi ini. Sekian terima kasih.