Halo guys, berjumpa lagi dengan kami di laman RumusHitung.com. Nah, Pada kesempatan kali ini, rumushitung akan mengajak kalian untuk belajar membahas materi tentang Rumus Deret Aritmatika. Yuk, simak penjelasannya ya kawan-kawan.
Contents
Pengertian Deret Aritmatika
Kata deret menyiratkan jumlah. Barisan aritmatika yang diberikan dapat diubah menjadi deret aritmatika dengan menjumlahkan suku-suku barisan tersebut. Contoh di bawah ini menunjukkan perbedaan antara keduanya.
Barisan aritmatika :
2, 4, 6, 8, 10, …
Deret aritmatika :
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ….
Perhatikan bahwa dalam suatu barisan, kita mencantumkan suku-suku yang dipisahkan dengan koma, sedangkan dalam suatu deret suku-suku ditambahkan seperti yang ditunjukkan oleh simbol plus (+).
Oleh karena itu, deret aritmatika hanyalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Lebih khusus lagi, jumlah n suku pertama dalam barisan aritmatika disebut jumlah parsial. Jumlah parsial dilambangkan dengan simbol Sn.
Rumus Deret Aritmatika
Di bawah ini adalah bentuk umum dari rumus deret aritmatika. Rumus ini bekerja paling baik jika suku pertama dan terakhir dianggap masalah yang sulit dipahami.
Dimana,
n = jumlah suku
a = suku pertama
b = beda (selisih antara setiap dua suku yang berdekatan)
Un = suku ke-n
Catatan :
- Rumus Deret Aritmatika juga dikenal sebagai Rumus Jumlah Parsial.
- Rumus Jumlah Parsial dapat digambarkan dalam kata-kata sebagai hasil kali dari rata-rata suku pertama dan terakhir dan jumlah total suku dalam penjumlahan.
- Rumus Barisan Aritmatika digabungkan/disematkan dalam Rumus Jumlah Parsial. Ini sebenarnya adalah suku ke-n atau suku terakhir Un dalam rumus.
Un = a + (n – 1)b - Kenali baik rumus deret aritmatika maupun rumus barisan aritmatika (rumus suku ke-n) karena keduanya berjalan beriringan saat memecahkan banyak masalah.
Sn = (n/2)(a + Un)
dan
Un = a + (n – 1)b
Sebelum kita mulai dengan contoh, Kalian mungkin ingat bahwa rumus barisan aritmatika tertanam dalam rumus deret aritmatika. Jika kita mengganti dan memperluas rumus suku ke-n dalam rumus jumlah parsial, yang akan kita dapatkan adalah bentuk baru dan berguna dari rumus deret aritmatika.
Di bawah ini adalah rumus alternatif dari deret aritmatika. Pertimbangkan ini jika suku ke-n tidak diketahui.
Sn = (n/2)(a + Un)
Sn = (n/2)[a + (a + (n – 1)b)]
Sn = (n/2)[2a + (n – 1)b]
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1 : Tentukan jumlah dari 100 suku pertama barisan aritmatika!
Pembahasan :
Soal ini adalah masalah yang mudah. Tujuan dari masalah ini adalah untuk menjadi contoh pengantar. Ini akan membantu kalian memahami dengan cepat rumus deret aritmatika. Setelah kalian memiliki pemahaman dasar tentang cara menggunakan rumus, kalian seharusnya dapat mengatasi masalah yang lebih berat seperti yang akan kalian lihat nanti dalam pelajaran.
Ingatlah bahwa bilangan asli adalah bilangan cacah. Kita dapat menulis barisan aritmatika berhingga sebagai berikut :
1, 2, 3, 4, …, 100
Dan untuk deret aritmatikanya adalah,
1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
Dapat diketahui bahwa :
a = 1
Un = 100
n = 100
b = U₃ – U₂
b = 3 – 2 = 1
Maka,
Sn = (n/2)(a + Un)
S₁₀₀ = (100/2)(1 + 100)
S₁₀₀ = 50(101)
S₁₀₀ = 5050
Atau
Sn = (n/2)[2a + (n – 1)b]
S₁₀₀ = (100/2)[2(1) + (100 – 1)1]
S₁₀₀ = 50(2 + 99)
S₁₀₀ = 50(101)
S₁₀₀ = 5050
Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan aritmatika adalah 5050
Contoh 2 : Diketahui deret aritmatika 7 + 12 + 17 + 22 + … + 187. Tentukan jumlah n suku pertama barisan aritmatika!
Pembahasan :
Diketahui :
a = 7
b = U₄ – U₃
b = 22 – 17 = 5
Un = 187
Jika kalian masih bingung mencari beda (b) dalam barisan aritmatika, bisa kalian pahami penjelasan rinci di bawah :
Mencari jumlah suku (n) :
Un = 187
a + (n – 1)b = 187
7 + (n – 1)5 = 187
(n – 1)5 = 187 – 7
(n – 1)5 = 180
n – 1 = 180/5
n – 1 = 36
n = 36 + 1
n = 37
Mencari jumlah deret aritmatika :
Sn = (n/2)(a + Un)
S₃₇ = (37/2)(7 + 187)
S₃₇ = 18,5(194)
S₃₇ = 3589
Jadi, jumlah deret aritmatika adalah 3589
Contoh 3 : Tentukan jumlah 51 suku pertama dari barisan aritmatika 12, 19, 26, 33, … !
Pembahasan :
Diketahui :
a = 12
b = U₄ – U₃
b = 33 – 26 = 7
n = 51
Masukkan nilai ke dalam rumus suku ke-n lalu sederhanakan untuk mendapatkan suku ke-51 :
Un = a + (n – 1)b
U₅₁ = 12 + (51 – 1)7
U₅₁ = 12 + (50)7
U₅₁ = 12 + 350
U₅₁ = 362
Terakhir, mencari jumlah 51 suku pertama barisan aritmatika :
Sn = (n/2)(a + Un)
S₅₁ = (51/2)(12 + 362)
S₅₁ = 25,5(374)
S₅₁ = 9537
Jadi, jumlah 51 suku pertama barisan aritmatika adalah 9537.
Baca juga : Mengenal Rumus Barisan Aritmatika dan Contoh Soal
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa Itu Deret Aritmatika?
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan dengan menggunakan bilangan tetap pada suku sebelumnya. Dapat diartikan sebagai jumlah dari suku-suku barisan aritmatika atau jumlah n suku pertama barisan aritmatika.
Apakah Rumus Deret Aritmatika?
Rumus derat aritmatika dilambangkan sebagai Sn yang merupakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika. Rumus ini dapat ditulis seperti :
Apa Perbedaan Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika?
Contoh barisan aritmatika : 2, 4, 6, 8, …
Contoh deret aritmatika : 2 + 4 + 6 + 8 + …
Bisa disimpulkan bahwa perbedaannya pada koma dan penjumlahan. Barisan aritmatika suku-sukunya dipisahkan dengan koma, sedangkan deret aritmatika suku-sukunya ditambahkan seperti yang ditunjukkan oleh simbol plus (+).
Diketahui barisan aritmatika 4, 9, 14, 19, …, 109. Hitung jumlah n suku pertama barisan aritmatika!
Diketahui :
a = 4
b = U₂ – U₁
b = 9 – 4 = 5
Un = 109
Mencari suku terakhir (n) :
Un = 109
a + (n – 1)b = 109
4 + (n – 1)5 = 109
(n – 1)5 = 109 – 4
(n – 1)5 = 105
n – 1 = 105/5
n = 21 + 1 = 22
Maka,
Sn = (n/2)(a + Un)
S₂₂ = (22/2)(4 + 109)
S₂₂ = 11(113)
S₂₂ = 1243