RumusHitung.com – Hai semua, kali ini rumushitung akan membahas materi tentang Himpunan pada Matematika. Untuk submateri yang akan dipelajari adalah pengertian, bagian, bentuk, simbol, jenis, rumus, dan operasi pada himpunan. Mari kita simak penjelasannya.
Contents
Pengertian Himpunan
Himpunan dalam matematika, hanyalah kumpulan objek berbeda yang membentuk grup. Satu himpunan memiliki kelompok item apa saja, baik itu kumpulan angka, hari dalam seminggu, jenis kendaraan, dan sebagainya. Setiap item dalam himpunan disebut elemen himpunan. Tanda kurung kurawal {} digunakan saat menulis himpunan. Contoh himpunan yang sangat sederhana adalah seperti ini. Himpunan A = {1,2,3,4,5}. Ada berbagai bentuk atau notasi untuk mewakili elemen himpunan. Himpunan biasanya menggunakan bentuk daftar nama atau bentuk pembuat himpunan. Mari kita bahas masing-masing istilah ini secara rinci.
Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik dan jelas. Himpunan biasanya diberi nama dan diwakili menggunakan huruf kapital. Dalam teori himpunan, unsur-unsur yang terdiri dari himpunan dapat berupa apa saja, antara lain huruf alfabet, angka, bentuk, variabel, dll.
Kita tahu bahwa himpunan bilangan genap kurang dari 10 terdefinisi, sedangkan himpunan siswa cerdas dalam satu kelas tidak terdefinisi. Dengan demikian, himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 10 dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan, A = {2, 4, 6, 8}. Mari kita gunakan contoh ini untuk memahami istilah dasar yang terkait dengan himpunan dalam matematika.
Elemen atau Anggota Himpunan
Item yang ada dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Unsur-unsur suatu himpunan diapit oleh kurung kurawal yang dipisahkan dengan koma. Untuk menyatakan bahwa suatu elemen terdapat dalam suatu himpunan, digunakan simbol “∈”. Contoh, misalkan 2 ∈ A. Jika suatu elemen bukan anggota suatu himpunan, maka elemen tersebut dilambangkan dengan simbol “∉”. Contoh, 3 ∉ A.
Bilangan Kardinal / Orde dalam Himpunan
Bilangan kardinal atau orde dari suatu himpunan menyatakan banyaknya anggota dalam suatu himpunan. Misal, himpunan A = {2, 4, 6, 8}, maka bilangan kardinalnya adalah n(A) = 4. Salah satu syarat penting untuk mendefinisikan suatu himpunan adalah bahwa semua elemen himpunan harus berhubungan satu sama lain dan memiliki sifat yang sama. Misalnya, jika kita mendefinisikan suatu himpunan dengan unsur-unsurnya sebagai nama bulan dalam satu tahun, maka kita dapat menyatakan bahwa semua anggota himpunan itu adalah bulan-bulan dalam setahun.
Representasi Himpunan
Terdapat bentuk himpunan berbeda yang digunakan untuk representasi himpunan. Tiga bentuk himpunan yang digunakan untuk merepresentasikan himpunan adalah :
- Bentuk semantik
- Bentuk daftar
- Pembentuk himpunan
Bentuk Semantik
Bentuk semantik menjelaskan pernyataan untuk menunjukkan apa saja anggota dari suatu himpunan. Misalnya, himpunan A adalah daftar lima angka ganjil pertama (A = {1, 3, 5, 7, 9}).
Bentuk Daftar
Bentuk yang paling umum digunakan untuk merepresentasikan himpunan adalah bentuk daftar di mana elemen-elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal yang dipisahkan dengan koma. Misalnya Himpunan B = {2,4,6,8,10} yang merupakan himpunan lima bilangan genap pertama. Dalam bentuk daftar, urutan anggota himpunan tidak menjadi masalah, misalnya himpunan lima bilangan genap pertama juga dapat didefinisikan sebagai {2,6,8,10,4}. Juga, jika ada daftar elemen yang tidak ada habisnya dalam satu set, maka mereka didefinisikan menggunakan serangkaian titik di akhir elemen terakhir. Misalnya, himpunan tak hingga direpresentasikan sebagai, X = {1, 2, 3, 4, 5 ….}, di mana X adalah himpunan bilangan asli. Untuk meringkas bentuk daftar nama, silakan lihat contoh di bawah ini.
Bentuk Daftar Berhingga dari Himpunan : Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} (Lima bilangan asli pertama)
Bentuk Himpunan Tak hingga : Himpunan B = {5, 10, 15, 20 ….} (Kelipatan 5)
Pembentuk Himpunan
Bentuk pembangun himpunan memiliki aturan atau pernyataan tertentu yang secara khusus menggambarkan ciri umum semua anggota himpunan. Bentuk pembuat himpunan menggunakan batang vertikal dalam representasinya, dengan teks yang menjelaskan karakter elemen himpunan. Misalnya, A = { k | k bilangan genap, k ≤ 20}. Pernyataan tersebut mengatakan, semua anggota himpunan A adalah bilangan genap yang kurang dari sama dengan 20.
Diagram Venn
Diagram Venn adalah bentuk bergambar dari himpunan, dengan setiap himpunan dibentuk dalam lingkaran. Unsur-unsur himpunan terdapat di dalam lingkaran. Terkadang persegi panjang membungkus lingkaran, yang mewakili himpunan universal. Diagram Venn menunjukkan bagaimana himpunan yang diberikan terkait satu sama lain.
Simbol Himpunan
Simbol himpunan digunakan untuk mendefinisikan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan tertentu. Tabel berikut menunjukkan beberapa simbol dan arti simbol.
Jenis Himpunan
Set diklasifikasikan ke dalam berbagai jenis. Beberapa di antaranya adalah tunggal, terbatas, tak terbatas, kosong, dll.
Himpunan Tunggal
Himpunan yang hanya memiliki satu unsur disebut himpunan tunggal atau disebut juga himpunan satuan. Contoh, Himpunan A = { k | k adalah bilangan bulat antara 3 dan 5} yaitu A = {4}.
Himpunan Berhingga
Sesuai dengan namanya, himpunan dengan jumlah elemen berhingga atau dapat dihitung disebut himpunan berhingga. Contoh, Himpunan B = {k | k adalah bilangan prima kurang dari 20}, yaitu B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Himpunan Tak Hingga
Himpunan dengan jumlah anggota tak hingga disebut himpunan tak hingga. Contoh : Himpunan C = {Kelipatan 3}, yaitu, C = {3, 6, 9, 12, 15 ……….}
Himpunan Kosong atau Nol
Himpunan yang tidak mengandung unsur apapun disebut himpunan kosong atau himpunan nol. Untuk Himpunan kosong dilambangkan dengan simbol “∅”. Itu dibaca sebagai “phi”. Contoh: Setel X = {}.
Himpunan yang Sama
Jika dua himpunan memiliki elemen yang sama di dalamnya, maka mereka disebut himpunan yang sama. Contoh : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang sama. Ini dapat direpresentasikan sebagai A = B.
Himpunan Tidak Sama
Jika dua himpunan memiliki paling sedikit satu elemen yang berbeda, maka keduanya merupakan himpunan yang tidak sama. Contoh : A = {1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang tidak sama. Ini dapat ditulis sebagai A ≠ B.
Himpunan Setara
Dua himpunan dikatakan himpunan ekuivalen jika memiliki jumlah elemen yang sama, meskipun elemennya berbeda. Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan ekuivalen karena n(A) = n(B)
Himpunan Tumpang Tindih
Dua himpunan dikatakan tumpang tindih jika setidaknya satu elemen dari himpunan A ada di himpunan B. Contoh : A = {2, 4, 6} B = {4, 8, 10}. Di sini, anggota 4 di himpunan A dan di himpunan B. Oleh karena itu, A dan B adalah himpunan yang tumpang tindih.
Himpunan Terpisah
Dua himpunan disebut himpunan terpisah jika tidak ada anggota yang sama pada kedua himpunan. Contoh : A = {1, 2, 3, 4} B = {5, 6, 7, 8}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan terpisah.
Himpunan Universal
Himpunan universal adalah kumpulan semua anggota yang berkaitan dengan subjek tertentu. Biasanya himpunan universal dilambangkan dengan huruf “U”. Contoh : Misalkan, U = {Daftar semua kendaraan angkutan jalan}. Di sini, satu himpunan mobil adalah himpunan bagian dari semua kendaraan angkutan jalan, kereta api semua adalah himpunan bagian dari semua kendaraan angkutan jalan.
Himpunan Pangkat
Himpunan pangkat adalah semua himpunan bagian yang dapat dikandung oleh suatu himpunan. Contoh: Himpunan A = {1,2,3}. Himpunan pangkat dari A adalah = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.
Rumus Himpunan
Ada beberapa rumus himpunan penting seperti yang tercantum di bawah ini.
Untuk setiap dua himpunan yang tumpang tindih A dan B, maka rumus himpunan :
- n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
- n (A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A U B)
- n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(B)
- n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) – n(A)
- n(A – B) = n(A U B) – n(B)
- n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
Untuk setiap dua himpunan A dan B yang saling terpisah, maka rumus himpunan
- n(A U B) = n(A) + n(B)
- A ∩ B = ∅
- n(A – B)= n(A)
Operasi Suatu Himpunan
Ada 4 operasi himpunan, antara lain :
Himpunan Gabungan
Gabungan himpunan, yang dilambangkan sebagai AUB, mencantumkan elemen-elemen di himpunan A dan himpunan B atau elemen-elemen di kedua himpunan A dan B. Misalnya, {1, 3} U {1, 4} = {1, 3, 4}
Himpunan Irisan
Perpotongan himpunan yang dilambangkan dengan A B mencantumkan elemen-elemen yang sekutu bagi himpunan A dan himpunan B. Misalnya, {1, 2} ∩ {2, 4} = {2}
Himpunan Selisih
Selisih himpunan yang dilambangkan dengan A – B, mencantumkan anggota himpunan A yang tidak ada pada himpunan B. Misalnya, A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6}. A – B = {2, 3}.
Himpunan Komplemen
Komplemen himpunan yang dilambangkan dengan Ac, adalah himpunan semua elemen dalam himpunan semesta yang tidak ada dalam himpunan A.
Hasil Kali Kartesius Suatu Himpunan
Hasil kali kartesius dari dua himpunan yang dilambangkan dengan A × B, adalah hasil kali dari dua himpunan tak kosong, di mana diperoleh pasangan-pasangan elemen atau anggota yang berurutan. Misalnya, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.
Baca juga : Soal Himpunan Matematika dan Pembahasannya
Demikian pembahasan mengenai materi himpunan, terutama yang rumus himpunan.Semoga bermanfaat. Semangat dan sehat selalu buat kalian. Sekian terima kasih.