Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga – Dear sobat hitung, kali ini rumushitung.com ingin sharing sekaligus ngingetin kembali aturan dan rumus trigonometri yang berlaku dalam segitiga (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas). Dalam beberapa soal trigonometri melibatkan berbagai hal terkait segitiga dan kita kadang bingung aturan trigonometri yang mana sih yang harus dipakai. Misalnya sobat ketemu soal seperti di bawah ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah, Coba sobat tentukan berapa luas segitiga tersebut?
hayoo pakai aturan trigonometri segitiga yang mana? Mau pakai rumus luas segitiga yang biasa tidak bakal ketemu, adanya sobat malah bingung. Okey untuuk mengingatkan sobat kembali berikut rangkuman tentang aturan trigonometri dalam segitga.
1. Aturan Sinus dalam Segitiga
Pada segitiga di atas berlaku
loh, darimana asalnya aturan sinus tersebut? mari kita cari tahu pembuktiannya berikut
pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan baca pembuktian rumus luas segitiga di bagian akhir postingan ini terlebih dahulu. Menurut aturan luas segitiga di dapat
L = ½ bc. sin α … (1)
L = ½ ac. sin β … (2)
L = ½ ab. sin γ … (3)
Persamaan (1) dan (2)
L = L
½ bc. sin α = ½ ac. sin β (coret yang sama)
b sin α = a sin β
b/sin β = a/sin α
Persamaan (1) dan (3)
L = L
½ bc. sin α = ½ ab. sin γ
c. sin α = a sin γ
c/sin γ = a/sin α
nah terbukti kan aturan sinus segitiganya.
contoh soal
Misalkan pada segitiga ABC, ∠ A =30o, BC = 6 dan AC = 10, tentukan berapa besar ∠B
jawab :
BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44o
2. Atuan Cosinus dalam Segitiga
Pasa sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
Pembuktian aturan cosinus
Darimana dapatnya aturan cosinus di atas? Jawabannya adalah
c2 = (a sin γ)2 + (b-a cos γ)2
c2 = a2 sin2 γ + b2– 2ab cos γ + a2 cos2 γ
c2 = a2 sin2 γ + a2 cos2 γ + b2– 2ab cos γ
c2 = a2 (sin2 γ + cos2 γ) + b2– 2ab cos γ (ingat sobat sin2 a + cos2 a = 1)
c2 = a2+ b2– 2ab cos γ… (terbukti)
contoh soal
perhatikan gambar di samaping. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.
Jawab:
Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.
Besar sudut POQ = 180o – (75o+45o) = 60o.
PQ2 = OQ2 + OP2 – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ2 = 32 + 52 – 2.3.5 cos 60o c
PQ2 = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ2 = 9 + 25 -15
PQ2 = 19
PQ = √19 = 4,36
3. Aturan Trigonometri Luas Segitiga
Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitiga menggunakan aturan trigonometri.
Jika sobat punya sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini
= ½ bc. sin α
= ½ ac. sin β
= ½ ab. sin γ
Eh..eh.. dari mana dapetnya rumus tersebut? The proof is..
pembuktian rumus ini sangat mudah jika sobat punya sebuah segitiga sembarang seperti ini
perhatikan segitiga di atas, rumus luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi. Kita ganti nilai tinggi dengan c sin α atau a sin γ maka didapat
L = ½ b. c. sin α atau
L = ½ b. a. sin γ
Gampang kan sebenarnya. Hehehe
contoh soal
Jika sobat rumushitung berikan selembar karton warna ungu dengan bentuk segitiga seperti gambar berikut
coba sobat tentukan luas segitiga tersebut
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm
Ayo sobat hitung, buat melatih pemahaman kita tentang aturan trigonometri (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas) segitiga boleh dicoba latihan soal berikut:
1. Perhatikan gambar segitiga di bawah ini lalu tentukan perbandingan antara PQ dan PR
a. 4 : 3 b. 3 : 4
c. √3 : √2 d. √2 : √3
2. Luas dari segitiga di bawah ini adalah?
a. 12 cm2 b. 12√3 cm2
c. 12 √2 cm2 d. 14 cm2
3. Pada gambar di samping tentukan nilai dari x
a. 2√3 b. 2√10
c. 2√7 d. 2√5
Okey sobat silahkan dicoba soal mengenai aturan sinus, cosinus, dan luas segitiga. Semoga bermanfaat.