RumusHitung.Com

Rumushitung.com – Halo sobat, apa kabarnya? Semoga sehat selalu dan tetap semangat ya.

Disini kita akan membahas materi tentang persamaan eksponensial, kita akan menjabarkan secara lengkap dari pengertian persamaan eksponensial, sifat-sifat persamaan eksponensial, bentuk – bentuk persamaan eksponensial, dan contoh soal persamaan eksponensial.

Pengertian Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah suatu persamaan bilangan dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi atau persamaan dalam pangkat yang bilangan pangkatnya mengandung sebuah variabel sebagai bilangan pengubah.

Keterangan :

a = basis bilangan berpangkat

x = pangkat

Sifat – Sifat Persamaan Eksponensial

Ada beberapa sifat – sifat persamaan eksponensial, antara lain :

1. Pangkat Bulat Positif

• a^m. aⁿ = a^m+n
• a^m / aⁿ  = a^m-n
• (a^m)ⁿ = a^{m . n}
• (ab)^m = a^m. b^m
• (a / b)^m = a^m / b^m

2. Pangkat Nol (0)

• a⁰ = 1, dengan syarat a ≠ 0

3. Pangkat Bulat Negatif

• a^-n = 1 / aⁿ , atau 1 / a^-n = aⁿ

4. Pangkat Bilangan Pecahan

• a^1/n = n√a
• a^m/n = n√a^m = ( n√a)^m

Bentuk Persamaan Eksponensial

Berikut bentuk – bentuk persamaan eksponensial beserta sifat yang digunakan, antara lain :

1. Persamaan Eksponensial Berbentuk  a^f(x) = a^g(x)

Merupakan bentuk persamaan eksponensial yang memiliki bilangan pokok atau basis yang sama pada kedua ruas, yaitu a konstan. Namun memiliki pangkat yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Supaya menjadi sebuah persamaan yang benar, pangkat harus dibuat sama pada kedua ruas, yaitu saat f(x) = g(x).

Contoh 1 
Tentukan persamaan dari 3^2x-7 = 27^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan terlebih dahulu bilangan pokok atau basis pada kedua ruas.
3^2x-7 = 27^1-x
3^2x-7 = (3³)^1-x
3^2x-7 = 3^3(1-x)

Kemudian gunakan bentuk persamaan di atas
2x – 7 = 3(1 – x)
2x – 7 = 3 – 3x
2x + 3x = 3 + 7
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2
karena variabel x merupakan bilangan pengubah yang menentukan persamaan pada kedua ruas.

2. Persamaan Eksponensial Berbentuk a^f(x) = b^f(x) 

Merupakan bentuk persamaan eksponensial yang memiliki bilangan pangkat yang sama pada kedua ruas, yaitu f(x). Namun memiliki bilangan pokok yang berbeda,yaitu a konstan dan b konstan. Agar menjadi persamaan yang benar, kedua pangkatnya dapat kita samakan menjadi f(x) = 0.

Contoh 2 
Tentukan persamaan dari 3^4x-2 = 5^2x-1
Jawab :
Kedua bilangan basis atau pokok di atas berbeda, maka bisa dengan menyamakan pangkatnya menjadi :
3^4x-8 = 5^2x-4
3^4(x-2) = 5^2(x-2)
81^x-2 = 25^x-2

Kemudian gunakan bentuk persamaan di atas.
x – 2 = 0
x = 2

Jadi, jawabannya adalah x = 2

3. Persamaan Eksponensial Berbentuk a^f(x) = b^g(x)

Merupakan bentuk persamaan eksponensial yang memiliki bilangan basis atau pokok (konstan) dan bilangan pangkat yang berbeda pada kedua ruas.

Contoh 3
Tentukan persamaan dari 2^x = 4^1-x
Jawab :
Pada kedua ruas bilangan basis dan pangkat merupakan persamaan yang berbeda. Maka harus menggunakan bentuk persamaan di atas.
2^x = 4^1-x
log 2^x = log 4^1-x
x log 2 = (1 – x) log 4 →  log aⁿ = n . log a
x log 2 = log 4 – x log 4
x log 2 + x log 4 = log 4
x (log 2 + log 4) = log 4
x log 8 = log 4 →  log a + log b = log (a . b)
x = log 4 / log 8
x = ⁸log 4

Jadi penyelesaiannya adalah x = ⁸log 4

4. Persamaan Eksponensial Berbentuk f(x)^g(x) = 1

Ada 3 keadaan yang menyebabkan persamaan bentuk f(x)^g(x) = 1 bernilai benar, antara lain :

1. Jika 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar saat f(x) = 1.
2. Jika -1^g(x) = 1 benar, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar saat f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap.
3. Jika f(x)⁰ = 1 benar, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar saat g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

Contoh 4
Tentukan himpunan dari (2x + 7)^x-3 = 1
Jawab :
Misal,
f(x) = 2x + 7
g(x) = x – 3

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 7 = 1
2x = 1 – 7
2x = -6
x = -3 (BENAR)

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 7 = -1
2x = (-1) – 7
2x = -8  
x = -4 (SALAH)
Untuk x = -4  →  g(x) = x – 3 = -4 – 3 = -7
Karena g(x) ganjil, maka x = -4 tidak memenuhi

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x – 3 = 0
x = 3 (BENAR)
Untuk x = 3  →  f(x) = 2x + 7 = 2(3) + 7 = 6 + 7 = 13 ≠ 0
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 3 memenuhi

Jadi, himpunannya adalah HP = {-3, 3}

5. Persamaan Eksponensial Berbentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Merupakan bentuk persamaan eksponensial yang memuat bilangan pokok atau basis yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Namun pangkatnya sama, yakni h(x). Ada 3 keadaan yang menyebabkan persamaan bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x) bernilai benar, antara lain :

1. Jika pangkatnya sama, maka bilangan basisnya juga harus sama.
2. Kedua bilangan pokok yang berlainan tanda, jika berpangkat genap yang sama, maka akan menghasilkan bilangan yang sama.
3. Persamaan bentuk f(x)^h(x) = g(x)^h(x)   akan bernilai benar jika h(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

Contoh 5
Tentukan himpunan dari (2x + 2)^x-4 = (x + 8)^x-4
Jawab :
Misal,
f(x) = 2x – 2
g(x) = x + 8
h(x) = x – 4

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x – 2 = x + 8
2x – x = 8 + 2
x = 10 (BENAR)

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x – 2 = -(x + 8)
2x – 2 = -x – 8
2x + x = -8 + 2
3x = -6  
x = -2 (BENAR)
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 – 4 = -6
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x – 4 = 0
x = 4 (BENAR) 
Untuk x = 4, maka
f(x) = 2x – 2 = 2(4) – 2 = 8 – 2 = 6 ≠ 0
g(x) = x + 8 = 4 + 8 = 12 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 4 memenuhi
Jika salah satu f(x) atau g(x) bernilai nol, maka persamaan tersebut tidak memenuhi

Jadi, himpunannya adalah HP = {-2, 4, 10}

6. Persamaan Eksponensial Berbentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) 

Bentuk persamaan ini memiliki basis atau bilangan pokok yang sama, yaitu f(x). Tetapi kedua pangkatnya tidak sama atau berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 keadaan yang menyebabkan persamaan bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) bernilai benar, antara lain :

1. Jika bilangan pokok atau basisnya sama, maka pangkatnya juga harus sama.
2. Persamaan bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 1.
3. Persamaan bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -1, dengan syarat g(x) dan h(x) sama – sama genap atau sama – sama ganjil.
4. Persamaan bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya sama positif. 

Contoh 6
Tentukan himpunan dari (x – 6)^6x = (x – 6)^5x+1
Jawab :
Misal,
f(x) = x – 6
g(x) = 6x
h(x) = 5x + 1

Solusi 1 : g(x) = h(x)
6x = 5x + 1
6x – 5x = 1 
x = 1 (BENAR)

Solusi 2 : f(x) = 1
x – 6 = 1
x = 7 (BENAR) 

Solusi 3 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
x – 6 = -1
x = 5 (BENAR)
Untuk x = 5, maka
g(x) = 6x = 6(5) = 30
h(x) = 5x + 1 = 5(5) + 1 = 25 + 1 = 26
Karena keduanya genap, maka x = 5 memenuhi
Jika salah satu g(x) atau h(x) ganjil atau genap, maka persamaan tersebut tidak mememenuhi

Solusi 4 : f(x) = 0, dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya positif
x – 6 = 0
x = 6 (BENAR)
Untuk x = 6, maka
g(x) = 6x = 6(6) = 36 
h(x) = 5x + 1 = 5(6) + 1 = 30 + 1 = 31 
Karena keduanya positif, maka x = 6 memenuhi
Jika g(x) atau h(x) salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0 atau negatif, maka persamaan tersebut tidak memenuhi

Jadi, hasil dari himpunan adalah HP = {1, 5, 6, 7}

Demikian materi persamaan eksponensial, semoga bisa menambah dan memperluas pengetahuan kalian.

Baca juga : Fungsi Eksponen dan Logaritma

Matematika Program Linear

Perpangkatan Bilangan Pecahan