Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Monday, July 8th 2013. | rumus matematika
advertisement

barisan aritmatika dan deretBarisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Pengertian Barisan Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan  U1, U2, U3, …, Un.
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U1) = 1, suku kedua (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.

Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

 Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

Un-Un-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a  + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1)  b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. (1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… (2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a +  (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

Ut = 1/2 (U1+Un)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]

Deret Aritmatika

Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U1, U2, U3, …. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b)  = 1/2 n (a+Un)

Contoh soal

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Itu tadi sedikit tentang barisan aritmatika berikut deretnya, semoga bermanfaat. :D

advertisement

19 Responses to “Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika”

  1. [...] sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang [...]

  2. michelle says:

    wow! komplit gampang dimengerti! thx!

  3. Boechary says:

    Terima kasih infox gan. :)

  4. vinsent says:

    kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n gimana kk?

    • rumus hitung says:

      kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n
      gimana kk?

      dalam deret matematik
      Sn = n/2 [2a+(n-1)b] masih ingatkah kalau Un = a+(n-1) b jadi rumus
      tersebut bisa dimodifikasi
      Sn = n/2 (a+Un)
      1000 = n/2 (a+420)
      2000 = n (a+420)
      n = 2000/ (a+420) …. persamaan 1

      Un = a+(n-1) b
      420 = a + (n-1)110
      420 = a + 110n – 110
      530 = a + 110n
      a = 530 – 110n ….. persamaan 2
      kita subtitusikan persamaan 2 ke persamaan 1
      n = 2000/ (a+420)
      n = 2000/ (530-110n+420)
      n = 2000/ (950-110n)
      n (950-110n) = 2000
      950 n – 110 n2 = 2000 (ruas kiri kita pindah ke
      kanan)
      110 n2 – 950n + 2000 = 0 (persamaan kuadrat)
      11n2 – 95n + 200 = 0
      (11n-40 ) (n -5) = 0
      n = 40/11 atau n = 5, jadi dipilih n = 5
      a = 530  -110 n
      a = 530 – 550 = -20

  5. […] dan belajar pasti ketemu deh jawaban yang benar. Sebelum mengerjakannya ada baiknya sobat baca dulu barisan dan deret aritmatika  dan […]

  6. bagus says:

    tidak ada cra yg mudah

  7. bagus says:

    caranya yg lebih mudah gak ada?

  8. merta says:

    kak saya tertarik dengan penjelasan deret tersebut.tp ga da cara yang lebih simpel n sederhana lg? kalo ada yang singkat z supaya ga keburu habis wkt nya menerjakan satu soal.. mksh

  9. […] Jadi ketemu deh rumus suku ke-n nya adalah Un = 2n2 – n. Misal sobat ingin mencari suku ke-10 maka tinggal dimasukkan ke rumus U10 = 2.102 – 10 = 190. Semoga bermanfaat yak. Jika sobat ada kesulitan jangan ragu buat menuliskannya di kolom komentar di bawah. Baca juga materi tentang barisan dan deret aritmatika. […]

  10. penx says:

    mau tanya a) jika u1 = 1 u2 =3 u3=6 u4=10 maka u10? . b) jika u1=1 u2=4 u3=9 maka u8? . terima kasih sebelumnya.

  11. talita says:

    barisan aritmetika 3,8,13
    tentuka suku ke 10 dan rmus suku ke n barisan tersebut serta suku ke brpkah yang nilainya 198

    mksh

  12. dita says:

    kak mau tanya diket deret hitung bahwa suku pertma 4, suku ke-n 200 dan D (n-1)=4900.hitunglah berapa besarnya n, b, S25??
    mohon bantuan nya kak..saya sudah coba cara diatas tapi tidak bisa

    • rumus hitung says:

      suku pertama = 4 = a
      suku ke n = 200
      suku ke n = a+ (n-1)b
      200 = 4 + (n-1) b
      196 = (n-1)b

      Sn = Sn-1 + Un
      Sn = 4900 + 200
      Sn = 5100

      padahal rumus Sn
      Sn = 1/2 n (a+un)
      5100 = 1/2 n 204
      5100 = 102 n
      n = 50

      Un = a + (n-1)b
      200 = 4 + (50-1)b
      196 = 49b
      b = 4

      S25 = 1/2 (25) . (2a+(n-1)b)
      S25 = 1/2 (25) . (8+(24.4))
      S25 = 1/2 (25) . 104
      S25 = 25 . 52 = 1300

  13. Ririn wahyu says:

    kak mau nanyak donk soal ini cra ngerjainnya gimna
    jika a = 100 dan S1 = 160 berapa : n untuk Sn = 250

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika