Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Monday, July 8th 2013. | rumus matematika

barisan aritmatika dan deretBarisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Pengertian Barisan Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan  U1, U2, U3, …, Un.
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U1) = 1, suku kedua (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.

Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

 Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

Un-Un-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a  + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1)  b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. (1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… (2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a +  (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

Ut = 1/2 (U1+Un)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]

Deret Aritmatika

Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U1, U2, U3, …. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b)  = 1/2 n (a+Un)

Contoh soal

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Itu tadi sedikit tentang barisan aritmatika berikut deretnya, semoga bermanfaat. :D







Yuk Bagikan

70 Responses to “Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika”

  1. fefe says:

    kak.. kalau disuruh mencari :

    deret hitung x yaitu a=180 , b=-10 , dengan
    deret hitung y yaitu a=45 , b=5..

    suku ke berapa dari kedua deret itu yg nilai nya sama kak..? :v makasii kak

  2. Wiwin says:

    Tlong bantuin tugas dong?bserta caranya…ni soalnya Diket:2+4+6+…+U9,Tentukan:
    A.Ut
    B.S9

    • rumus hitung says:

      itu deret aritmatika dengan a = 2 dan b = 2 kak..
      untuk mencari
      A. Ut –> ini maksudnya U9 ya?
      Kalau U9, kita cari dengan
      U9 = a + 8b = 2 + 8(2) = 18

      B. S9 tinggal dihitung dengan rumus
      S9 = n/2 (a+Un)
      = 9/2 (2+18)
      = 9 (10) = 90

  3. uto says:

    Ka kalo seprti ini gmna carilah suku ke 15 dari deret aritmatika 100,98,96,94..

  4. tina syon says:

    kak…jika soalnya suku pertama deret hitung M adalah 75 dan pembedanya adalah 10,sementara suku deret ke-6 hitung n adalah 145 dan pembedanya adalah 5.carilah n yang memberikan nilai yang sama bagi suku suku kedua deret tersebut

  5. tya says:

    tolong bantuin kerjaiin tugas dong
    a+(a+1)+(a+2)+…+(a+21)=247 nilai a=

    • rumus hitung says:

      suku pertama adalah = a
      beda = 1
      suku terakhir adalah = 247

      a = a
      b = 1
      Sn = 247
      Un = a + 21

      kita pakai rumus Un pada deret aritmatika
      Un = a + (n-1) b
      a + 21 = a + n – 1
      21 = n – 1
      n = 22

      Un = 1/2 n (a+Un)
      247 = 1/2 22 (a+a+21)
      247 = 11 (2a + 21)
      247 = 22a + 231
      22a = 247 – 231
      22a = 16
      11 a = 8
      a = 8/11

      maaf kak baru bisa bales..

  6. finiya says:

    kk perbedaan barisan aritmatika dgn barisan geometri apa yah? trims

  7. humairohnabila says:

    kak cara ngitung 1+2+3+4+5+…+26 itu gimana

  8. […] penjumlahan kelompok bilangan dengan beda tertentu. Kasusnya sama seperti mencari deret dari sebuah barisan aritmatika. Tidak peduli berapapun bedanya atau berapapun besar bilangan tersebut, sobat hanya perlu tiga […]

  9. Galau Extreme says:

    Aku Ada Pertanyaan Nih :)
    Tolong KerJakan
    Lim (x-1) 1²-1²/X

    Mohon Tipsnya ya >><<

  10. Apriliana mukaromah says:

    Gimana cara mengubah barisan geometri ke barisan aritmatika?

  11. Iqbal says:

    Kk minta bantuanya. Diket suatu deret aritmatika dengan suku ke 3=11 suku tengahnya =14 san suku terakhir=23,maka banyak suku dari deret tsb adlh….
    Makasih kk

  12. diyan says:

    Berapa nilai 5 pangkat 100 trimakasih

    • rumus hitung says:

      5100= 7.888.609.052.210.120.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

  13. angga says:

    Kak, bisa bantu gak? Campuran aritmatika, persamaan kuadrat sama logaritma nih
    alpha dan beta adalah akar akar dari persamaan kuadrat
    X^2-(k-10)x+k=0
    Jika log alpha, log alpha minusbeta, log beta membentuk suatu baris aritmatika, tentukan k
    Mohon bantu kak

  14. ali akbar says:

    Jumlah enam suku pertama = 324, jumlah U7 sampai U16 adalah 220. Suku pertamanya berapa ya kak??

    • rumus hitung says:

      S6 = 324
      6/2 (2a + 5b) = 324
      3 (2a + 5b ) = 324
      2a + 5b = 108 ….. (persamaan 1)
      S16 = 320 + 220 = 544
      16/2 (2a + 15b) = 544
      2a + 15b = 68 …. (persamaan 2)

      kita pakai eliminasi
      2a + 5b = 108 
      2a + 15b = 68
      -5b = 40
      b = -8

      2a + 5b = 108
      2a -40 = 108
      2a = 148
      a = 74

  15. nuel says:

    rumus mencari pengganda dalam deret hitung gimana ya…
    misalnya suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768. berapa penggandanya ?
    mohon bantuannya ya…
    trmksih.

    • rumus hitung says:

      itu pakai deret geometri kak..

      suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768
      U4 = ar3
      U9 = ar8

      ar8 / ar3 = 768/24
      r5 = 32
      r = 2

  16. Arief says:

    Mas kalo rumus untuk mencari Sn dengan bedanya itu 2x gimana ya?

  17. Alvin adam says:

    mau tanya.. kan udah sering kalo soal yang ditanya yang penjumlahan misal, U2 + U3 = ? Tapi kalo perkalian gimana ya caranya,, mohon beri contoh soal dan penjelasannya

  18. shi says:

    udah otak atik rumus,, tapi ga ktmu jga jwabannya… mohon bantuannya ya kaq…
    1!+2!+3!+4!+5!+….+2006!

  19. chyntia kristina says:

    Kak ni ad soal ge yg buntu jq kak….

    Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…

    Dibantu y kak….

    • chyntia kristina says:

      klu bsa segera y kak… :)
      Thankyou…

    • rumus hitung says:

      Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…

      jumlah 5 suku pertama = 20
      P1 = U1 -U3 = a – (a + 2b) = -2b
      P2 = U2 – U3 = a+b – (a + 2b) = -b
      P3 = U4 – U3 = a + 3b – (a+2b) = b
      P5 = U5 – U3 = a + 4b – (a + 2b) = 2b

      P1 x P2 x P3 x P4 = 324
      (-2b) x (-b) x b x 2b = 324
      4 b4 = 324
      b4 = 81
      b = 3

      S5 =  5/2  (2a  +  4.3)
      20 =  5/2 (2a + 12)
      20 = 5a + 30
      5a = -10
      a = -2

      jadi barisan tersebut a = -2 b = 3
      lima suku pertama -2, 1,4,7,10

      silahkan dilanjut ya kak.. :D

       

  20. Faiz says:

    Mau tanya kx,Bagaimana rumus untuk mencari suku tengah jika suku pertama nya belum di ketahui ??

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika