Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Monday, July 8th 2013. | rumus matematika

barisan aritmatika dan deretBarisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Pengertian Barisan Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan  U1, U2, U3, …, Un.
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U1) = 1, suku kedua (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.

Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

 Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

Un-Un-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a  + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1)  b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. (1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… (2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a +  (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

Ut = 1/2 (U1+Un)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]

Deret Aritmatika

Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U1, U2, U3, …. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b)  = 1/2 n (a+Un)

Contoh soal

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Itu tadi sedikit tentang barisan aritmatika berikut deretnya, semoga bermanfaat. :D



53 Responses to “Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika”

  1. humairohnabila says:

    kak cara ngitung 1+2+3+4+5+…+26 itu gimana

    • rumus hitung says:

      itu sama dengan deret aritmatika dengan a = 1 dan b = 26 kak… silahkan dicoba dulu dengan rumus di atas.. kalau masih kesulitan nanti kita bantu lagi..

  2. […] penjumlahan kelompok bilangan dengan beda tertentu. Kasusnya sama seperti mencari deret dari sebuah barisan aritmatika. Tidak peduli berapapun bedanya atau berapapun besar bilangan tersebut, sobat hanya perlu tiga […]

  3. Galau Extreme says:

    Aku Ada Pertanyaan Nih :)
    Tolong KerJakan
    Lim (x-1) 1²-1²/X

    Mohon Tipsnya ya >><<

  4. diyan says:

    Berapa nilai 5 pangkat 100 trimakasih

    • rumus hitung says:

      5100= 7.888.609.052.210.120.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

  5. angga says:

    Kak, bisa bantu gak? Campuran aritmatika, persamaan kuadrat sama logaritma nih
    alpha dan beta adalah akar akar dari persamaan kuadrat
    X^2-(k-10)x+k=0
    Jika log alpha, log alpha minusbeta, log beta membentuk suatu baris aritmatika, tentukan k
    Mohon bantu kak

  6. ali akbar says:

    Jumlah enam suku pertama = 324, jumlah U7 sampai U16 adalah 220. Suku pertamanya berapa ya kak??

    • rumus hitung says:

      S6 = 324
      6/2 (2a + 5b) = 324
      3 (2a + 5b ) = 324
      2a + 5b = 108 ….. (persamaan 1)
      S16 = 320 + 220 = 544
      16/2 (2a + 15b) = 544
      2a + 15b = 68 …. (persamaan 2)

      kita pakai eliminasi
      2a + 5b = 108 
      2a + 15b = 68
      -5b = 40
      b = -8

      2a + 5b = 108
      2a -40 = 108
      2a = 148
      a = 74

  7. nuel says:

    rumus mencari pengganda dalam deret hitung gimana ya…
    misalnya suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768. berapa penggandanya ?
    mohon bantuannya ya…
    trmksih.

    • rumus hitung says:

      itu pakai deret geometri kak..

      suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768
      U4 = ar3
      U9 = ar8

      ar8 / ar3 = 768/24
      r5 = 32
      r = 2

  8. shi says:

    udah otak atik rumus,, tapi ga ktmu jga jwabannya… mohon bantuannya ya kaq…
    1!+2!+3!+4!+5!+….+2006!

  9. chyntia kristina says:

    Kak ni ad soal ge yg buntu jq kak….

    Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…

    Dibantu y kak….

    • chyntia kristina says:

      klu bsa segera y kak… :)
      Thankyou…

    • rumus hitung says:

      Jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmetika ialah 20. P1, P2, P3, dan P4 berturut-turut hasil pengurangan suku pertama, suku kedua, suku keempat, dan suku kelima masing-masing dengan suku ketiga. Jika hasil kali P1 P2 P3 P4 = 324 maka jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah…

      jumlah 5 suku pertama = 20
      P1 = U1 -U3 = a – (a + 2b) = -2b
      P2 = U2 – U3 = a+b – (a + 2b) = -b
      P3 = U4 – U3 = a + 3b – (a+2b) = b
      P5 = U5 – U3 = a + 4b – (a + 2b) = 2b

      P1 x P2 x P3 x P4 = 324
      (-2b) x (-b) x b x 2b = 324
      4 b4 = 324
      b4 = 81
      b = 3

      S5 =  5/2  (2a  +  4.3)
      20 =  5/2 (2a + 12)
      20 = 5a + 30
      5a = -10
      a = -2

      jadi barisan tersebut a = -2 b = 3
      lima suku pertama -2, 1,4,7,10

      silahkan dilanjut ya kak.. :D

       

  10. Faiz says:

    Mau tanya kx,Bagaimana rumus untuk mencari suku tengah jika suku pertama nya belum di ketahui ??

  11. Lisda says:

    Kak, mohon bantuannya. Dik: Sn=880, a=25, b=2. Dit: n=?

    • rumus hitung says:

      itu deret apa ya kak… kalau beda dua dan suku pertama ganjil maka suku2 berikutnya bakal ganjil… 880 kan genap…

  12. veronika says:

    kak mohon bantuannya..
    suatu deret hitung, suku 1=3 dan suku terakhir=87. jika suku ke 6 dan suku ke 7 di jumlah=39, maka hitunglah jlh deret tersebut!!

    gmna tu kaq?

    • rumus hitung says:

      a = U1 = 3
      Un = 87

      U6 = a + 5b
      U7 = a + 6b

      U6 + U7 = 2a + 11b
      39 = 2.3 + 11.b
      39 = 6 + 11b
      11b = 33
      b = 3

      Un = 87
      87 = 3 + (n-1)3
      84 = (n-1)3
      n-1 = 84/3
      n-1 = 28
      n = 29

      Sn = n/2 (a+Un)
      S29 = 29/2 (3+87)
      S29 = 29/2 . 80
      S29 = 1.160

  13. muflikh says:

    terimakasih untuk postingannya kak. ngerjain tugas jadi lebih mudah.. :)

  14. Eta says:

    Kk
    Kalau ad soal
    Di antara bil 3 dan 23 disisipkan 9 buah bilangan
    Sehingga trbntuk deret aritmatika.
    Jumlah smua bil yg terbentuk adlh??
    Thanks

    • rumus hitung says:

      sekranga berarti akan ada 11 bilangan
      jika ada 11 bilangan maka ada 10 beda yang sama
      besarnya beda tiap suku = 23-3/10 = 2
      jadi barisan aritmatika yang baru
      a = 3
      b = 2
      n = 11
      S11 = 11/2 (2.3+(11-1)2)
      S11 = 11/2 (26)
      S11 = 11 . 13 = 143

  15. safrilman zai says:

    trimkasih ya mapelnya,
    sungguh sangat membantu saya dalam mengerjakan tugas kelompok.

  16. eka says:

    kalo soalnya ke gni
    jmlh bilngn antra 5 dan 100 yg habis dibagi 7 dan tidak habis dibagi 4

    • rumus hitung says:

      bilangan antar 5 dan 100 yang habis dibagi 7
      7, 14, 21, 28, ….. , 98
      a = 7
      b = 7
      Un = 98
      n = (98/7) = 14
      rumusnya
      Sn =  n/2 (a + Un)
      S15 = 14/2 (7+98)
      S15 = 7. 105 = 735

      bilangan yang tidak habis dibagi 7 dan 4
      28, 56, 84
      karena jumlah sukunya hanya sedikit kita bisa jumlah manual
      = 28 + 56 + 84 =  168

      Jadi jumlah bilangan antara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan tidak habis dibagi 4 adalah
      735-168 = 567

  17. Ririn wahyu says:

    kak mau nanyak donk soal ini cra ngerjainnya gimna
    jika a = 100 dan S1 = 160 berapa : n untuk Sn = 250

  18. dita says:

    kak mau tanya diket deret hitung bahwa suku pertma 4, suku ke-n 200 dan D (n-1)=4900.hitunglah berapa besarnya n, b, S25??
    mohon bantuan nya kak..saya sudah coba cara diatas tapi tidak bisa

    • rumus hitung says:

      suku pertama = 4 = a
      suku ke n = 200
      suku ke n = a+ (n-1)b
      200 = 4 + (n-1) b
      196 = (n-1)b

      Sn = Sn-1 + Un
      Sn = 4900 + 200
      Sn = 5100

      padahal rumus Sn
      Sn = 1/2 n (a+un)
      5100 = 1/2 n 204
      5100 = 102 n
      n = 50

      Un = a + (n-1)b
      200 = 4 + (50-1)b
      196 = 49b
      b = 4

      S25 = 1/2 (25) . (2a+(n-1)b)
      S25 = 1/2 (25) . (8+(24.4))
      S25 = 1/2 (25) . 104
      S25 = 25 . 52 = 1300

  19. talita says:

    barisan aritmetika 3,8,13
    tentuka suku ke 10 dan rmus suku ke n barisan tersebut serta suku ke brpkah yang nilainya 198

    mksh

  20. penx says:

    mau tanya a) jika u1 = 1 u2 =3 u3=6 u4=10 maka u10? . b) jika u1=1 u2=4 u3=9 maka u8? . terima kasih sebelumnya.

  21. […] Jadi ketemu deh rumus suku ke-n nya adalah Un = 2n2 – n. Misal sobat ingin mencari suku ke-10 maka tinggal dimasukkan ke rumus U10 = 2.102 – 10 = 190. Semoga bermanfaat yak. Jika sobat ada kesulitan jangan ragu buat menuliskannya di kolom komentar di bawah. Baca juga materi tentang barisan dan deret aritmatika. […]

  22. merta says:

    kak saya tertarik dengan penjelasan deret tersebut.tp ga da cara yang lebih simpel n sederhana lg? kalo ada yang singkat z supaya ga keburu habis wkt nya menerjakan satu soal.. mksh

  23. bagus says:

    caranya yg lebih mudah gak ada?

  24. bagus says:

    tidak ada cra yg mudah

  25. […] dan belajar pasti ketemu deh jawaban yang benar. Sebelum mengerjakannya ada baiknya sobat baca dulu barisan dan deret aritmatika  dan […]

  26. vinsent says:

    kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n gimana kk?

    • rumus hitung says:

      kk klo ada soal:deret mat diket b=110,sn=1000,un=420,cari a dan n
      gimana kk?

      dalam deret matematik
      Sn = n/2 [2a+(n-1)b] masih ingatkah kalau Un = a+(n-1) b jadi rumus
      tersebut bisa dimodifikasi
      Sn = n/2 (a+Un)
      1000 = n/2 (a+420)
      2000 = n (a+420)
      n = 2000/ (a+420) …. persamaan 1

      Un = a+(n-1) b
      420 = a + (n-1)110
      420 = a + 110n – 110
      530 = a + 110n
      a = 530 – 110n ….. persamaan 2
      kita subtitusikan persamaan 2 ke persamaan 1
      n = 2000/ (a+420)
      n = 2000/ (530-110n+420)
      n = 2000/ (950-110n)
      n (950-110n) = 2000
      950 n – 110 n2 = 2000 (ruas kiri kita pindah ke
      kanan)
      110 n2 – 950n + 2000 = 0 (persamaan kuadrat)
      11n2 – 95n + 200 = 0
      (11n-40 ) (n -5) = 0
      n = 40/11 atau n = 5, jadi dipilih n = 5
      a = 530  -110 n
      a = 530 – 550 = -20

  27. Boechary says:

    Terima kasih infox gan. :)

  28. michelle says:

    wow! komplit gampang dimengerti! thx!

  29. […] sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang […]

  30. rumus hitung says:

    (x+1), (2×-1), dan (2x+2)
    b = b
    2x-1 – (x+1) = 2x+2 – (2x-1)
    2x-1-x-1 = 2x+2-2x+1
    x-2 = 3
    x = 5

    x+1 = 5+1 = 6
    2x -1 = 2(5)-1 = 9
    2x + 2 = 2(5) +2 = 12

    delapan suku berikutnya adalah
    15, 18, dst…

    a = 15
    b = 3
    S8 = 8/2 (2×15 + (8-1)3)
    S8 = 4 (30 + 21)
    S8 = 4 x 51
    S8 = 204

    Semoga bermanfaat yaaaa :D

  31. chyntia kristina says:

    Hehhee thankyou y kak…. Sblmnya sya ad coba dlu cumannya slh masuk”kan suku pertamanya… :D Gk gtu ngerti soalnya…

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika