Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Friday, July 19th 2013. | rumus matematika
advertisement

Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran- Sebelumnya kita telah belajar mengenai persamaan lingkaran, kali ini rumushitung ingin share lanjutan materi tentang lingkaran yaitu hubungan titik dan garis terhadap lingkaran. Hubungan titik dengan lingkaran ada tiga jenis yaitu berada di dalam lingkaran, tepat pada lingkaran, dan berada di luar lingkaran. Hubungan ini sejalan dengan hubungan garis dengan lingkaran.

Hubungan Titik dengan Lingkaran

1. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Jika sobat punya sebuah titik dengan nama P (x1,y1) maka kemungkinan  posisinya terhadap lingkaran

x2 + y2 = r2 maka

Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran Berlaku Jika
Di dalam lingkaran x12+y12 < r2
Terletak di Lingkaran x12+y12 < r2
Di Luar Lingkaran x12+y12 < r2

 Berikut contoh soalnya
Coba tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran dengan persamaan  x2 + y2 =41

  • titik A (3,4)
  • titik B (4,5)
  • titik C (5,6)

Jawaban
caranya adalah dengan memasukkan nilai x dan y dari titik-titik di atas ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 kemudian sobat bandingkan hasilnya dengan nili r2

Titik A (3,4) –> 32+42 = 9+16 = 25 –> 25 < 41  —> di dalam lingkaran
Titik B (4,5) –> 42+52 = 16+15 = 41 –> 41= 41  —> terletak di lingkaran lingkaran
Titik A (5,6) –> 52+62 = 25+36 = 61 –> 61 > 42  —> di luar lingkaran

2. Hubungan Titik dengan Lingkaran dengan Pusat (a,b) [bukan berpusat di (0,0)]

Misal ada sebuah titik P P (x1,y1) maka kemungkinan posisinya terhadap lingkaran dengan persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 maka hubungan  antara garis dengan lingkaran tersebut bisa

Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran
dengan pusat (a,b)
Berlaku Jika
Di dalam lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Terletak di Lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Di Luar Lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2

 Contoh soal
Tentukan berada di dalam, tepat, atau di luar lingkaran x2+y2-4x+6y = 0 titik-titik berikut: titik M (1,3), titik N (2,7)

Jawaban Pembahasan
Sama, caranya sangat mudah, sobat tinggal memasukkan nilai x dan y dari titik-titik yang ditanyakan posisinya ke dalam persamaan lingkaran dan membandingkannya dengan nilai r2

titik M (1,3) –> 12+32-4(1)+6.3 =1+9-4+18 = 24 –> 24 > 0 [di luar lingkaran] titik N (2,7) –> 22+72-4(2)+6.7 = 4+49-8+42 = 97 –> 97>0 [di luar lingkaran]

Hubungan Garis Lurus dengan Lingkaran

Untuk menentukan hubungan sebuah garis lurus y = mx + n dengan lingkaran cara paling mudah adalah mensubtitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan lingkaran  hingga menjadi persamaan dengan hanya ada satu variable (x)  (persamaan kuadrat) kemudian kita tentukan nilai D (determinan) dari persamaan hasil subtitusi tersebut.

Gambar Nilai D Hubungan
 garis memotong lingkaran di dua titik D > 0 garis berada di dalam lingkaran, memotong lingkaran di dua titik, dan jarak pusat lingkaran ke garis < jari-jari lingkaran
 garis menyinggung lingkaran D = 0 garis menyinggung lingkaran (1 titik) dan jarak pusat lingkaran ke garis = jari-jari lingkaran
 garis tidak menyinggung lingkaran D < 0 garis berada di luar lingkaran, tidak memotong lingkaran, jariak titik pusat lingkaran ke garis > jari-jari lingkaran

 Contoh Soal
Sebuah garis lurus punya persamaan y = x+1, tentukan posisi garis tersebut terhadap lingkaran x2+y2 = 25!

Jawab

:: substitusikan y = x+1 ke x2+y2 = 25

x2+y2 = 25
x2+(x+1)2 = 25
x2+x2+2x+1 = 25
2x2+2x-24 = 0
x2+x-12 = 0 [bentuk sederhana]

:: Tentukan Nilai Determinan (D)

D = b2-4ac
D = 1-4.1(-12) = 1 + 48 = 49 –> D > 0, maka memotong lingkaran di dua titik. Pertanyaannya jika hubungan garis terhadap lingkaran adalah memotongnya di dua titik, dimana saja titik potong garis dengan lingkaran tersebut?

x2+x-12 = 0
(x+4) (x-3) = 0
x+4 = 0 atau x-3 = 0
x = -4 atau x = 3 –> masukkan ke persamaan garis atau lingkaran (silahkan pilih)
x = -4 –> y = x+1 –> y = -4+1 = -3 maka titiknya  (-4,-3)
x = 3 –> y = x+1 –> y = 3+1 = 4 maka titiknya (3,4)
D = 122+320 =442 –> D > 0  maka garis tersebut memotong lingkarn di dua titik

tags:

One Response to “Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran”

  1. [...] sebelumnya rumushitung telah posting kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran, kali ini kita akan belajar mengenai garis singgung lingkaran. Garis yang memotong lingkaran hanya [...]

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Hubungan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran