Rumus Volume Bola dan Pembuktiannya

Rumus Volume Bola – Bola merupakan banngun ruang (3 dimensi) yang terbentuk dari setengah lingkaran yang diputar menurut diameternya dan berpusat pada satu titik. Bola hanya mempunyai satu 1 yang disebut dinding bola dengan jarak dinding dengan titik pusat sama yang disebut diameter. Berikut ini rumus volume bola dan rumus luas permukaan bola berikut pembuktiannya.

RUMUS VOLUME BOLA
V = 4/3 Π r3dengan diameterV= 1/6 Π d3 Π = 3,14 atau 22/7 r = jari-jari bola (lihat gambar)
Contoh Soal Menghitung Volume Bola Adik membeli sebuah tempat minum berbentuk setengah bola, dengan diameter  14 cm, jika adik ingin mengisinya penuh dengan susu, berapa volume susu yang diperlukan?Jawab Volume bola  = 4/3 Π r3 Volume setengah bola  = 2/3Π r3 V= 2/3 x 22/7 x 7 x 7 x 7 V = 2 x 22  = 718,67 cm3

Pembuktian Rumus Volume Bola

Rumus Volume bola bisa dibuktikann dengan beberapa cara diantaranya dengan menggunakan prinsip cavaleri dan menggunakan integral.

Pembuktian Rumus Volume Bola dengan Prinsip Cavalieri
Bonaventura Cavalieri, seorang ahli matematika dari itali mengatakan,

“Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.”

Simak gambar berikut ini

Gambar Kiri : gambar tabung dengan tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r

Gambar Kanan : setengah tabung dengan jari-jari r

Kita akan membuktikan jika volume dari silinder yang telah dipotong dengan kerucut apakah sama dengan volume setengah bola yang ada di kiri. Kita akan coba membuktikan rumus volume tabung 4/3 Π r^{3. Untuk membuktikan apakah volume kedua benda ruang di atas sama kita memakai dalil cavalieri diatas.}

^{Pertama, kita coba memotong masing-masing bangun ruang pada tinggi yang sama untuk mendapatkan dua bidang iris. Misal kita ambil 9 cm, maka}

Luas 1 = Luas Lingkaran Besar (r=15) – Luas Lingkaran Kecil (r=a)
karena tinggi silinder dan jari-jari silinder sama, maka antar antar tinggi silinder, jari-jari, bidang miring irisan kerucut membentuk segitiga sama kaki, jadi dengan prinsip kesebangunan maka didapat nilai a =9
Luas 1 = π(15²) – π(9²) = π(225 – 81) = 144π

Luas 2 = Luas Lingkaran dengan jari-jari b
b dapat dicari dengan phytagoras,

b² + 9² = 15²
b²= 225 -81
b²= 144
b= 12

Luas 2 = π(12²) = 144π (terbukti)

Volume Setengah Bola = Volume Silinder – Volume Kerucut
Volume Bola = 2 (Volume Silinder – Volume Kerucut)
Volume Bola = 2 (πr³ – 1/3 πr³)
Volume Bola = 2. 2/3 πr³ = 4/3 πr³ (rumus volume bola)

Pembuktian Rumus Volume Bola dengan Integral

Pembuktian rumus volume Bola bisa menggunakan integral untuk menentukan volume dari benda (luasan) yang diputar menurut sumbu tertentu.  Lingkaran punya persamaan x² + y² = r² atau y = √(r²– x²).  Kita ambil luasan di bawah kurva setengah lingkaran, seperti gambar di bawah, lalu kita putas (dengan integral) untuk mendapatkan volum setengah bola dan mengalikannya dengan 2 untuk mendapatkan rumus volume bola. Silahkan dicoba ya, pembuktian rumus volume bola dengan integral.