Barisan Geometri dan Deret Geometri

Tuesday, September 3rd 2013. | rumus matematika

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U1, U2, U3, …, Un-1, Un
Maka
U2/U1 = U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2
U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = arn-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas. :D

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
Un = arn-1
U10 = 2.211-1 = 210 = 1024 buah amoeba.

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

  Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn    (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arn
Sn (1-r) = a (1-rn)
Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan  dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

CodeCogsEqn(8)

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

rumus suku tengah deret geometri

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret rasio (r) rumus
divergen r ≥ 1 atau r ≤ 1 s = ∞
konvergen -1< r < 1 s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2





Yuk Bagikan

330 Responses to “Barisan Geometri dan Deret Geometri”

  1. Cici rahmayani says:

    Kak tolong ini soalnya
    1. Suku pertama sebuah deret geometri 2048 jika rasionya 1/2 tentukan
    A. Jumlah 7 suku pertama
    B. Rumus jumlah n suku pertama

    • rumus hitung says:

      kak cici silahkan dicoba ulu ya pakai rumus di atas… heheheh semua sudah ada materi, rumus, dan contoh soalnya. Nanti kalau ngga bisa lagi silahkan ditanyakan lagi

  2. Zaidan says:

    Ka mau tanya nih.
    Banyak kursi paling depan pada sebuah pertunjukan 10 buah. Banyak kursi pada baris dibelakangnya selalu lebih 3 buah. Jika di dalam gedung ada 17 baris kursi, maka banyak seluruh kursi pada gedung itu adalah..
    Gimana tuh?

  3. dara says:

    deret aritmetika
    tolong dong min
    suku ketiga = 154
    jumlah suku kelima & ketujuh = 290
    jumlah 10 suku pertama???

    • rumus hitung says:

      suku ketiga = 154
      jumlah suku kelima & ketujuh = 290
      jumlah 10 suku pertama???

      U3 = a + 2b = 154 …. (persamaan 1)
      U5 + U7 = a + 4b + a + 6b
      = 2a + 10 b = 290…. (persamaan 2)

      persamaan 1 dan persamaan 2 kita gunakan eliminasi
      a + 2b = 154         x 2
      2a + 10 b = 290    x 1

      2a + 4b = 308
      2a + 10b = 290
      …………………………………. -
      -6 b = 18
      b = -3

      a + 2b = 154
      a – 6 = 154
      a = 160

      Jumlah suku pertama silahkan dihitung menggunakan rumus
      Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
      S10 = 10/2 (2.160 + 9(-3))
      S10 = 5 (320 – 27)
      S10 = 5 . 293 = 1465

      semoga bermanfaaat kak… sukses buat sekolahnya

  4. sipipi says:

    subuah kawat teralis akan dipotong menjadi 4 sedingga membentuk deret geometri. Jika kawat tepanjang nya 27cm dan panjnag kawt terpendeknya 8cm. Tentukan panjang kawat mula-mula sebelum dipotong…?

  5. dwi says:

    Kak mau tanya kalau ada soal
    1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + …. + 1/(9×10)
    Hasilnya berapa ya….??

    • rumus hitung says:

      1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20

      kalau dilihat angka di bawahnya

      2….6…..12….20
      ..4…..6……8
      …..2……2

      itu semacam barisan aritmaika bertingkat kak..

      tapi belum ketemu rumusnya.. nanti coba tak diskusikan dengan tim yang lain..

      untuk materi barisan aritmatika bertingkat bisa di baca di sini

  6. lestari lusia says:

    Kak minta bantuannya donk.
    Diketahui suatu barisan geometri dimana suku pertama adalah 2 dan radionya 5. tentukanlah suku ke sepuluhnya! Trim’s

  7. Arief Aly A says:

    Kak tolong bantuannya jika suatu deret geometri diketahui S3=9 dan U2=-6.tentukan:
    a.rasio b.suku ke 6

    • rumus hitung says:

      Kak tolong bantuannya jika suatu deret geometri diketahui S3=9 dan U2=-6.tentukan:
      a.rasio b.suku ke 6

      S3 = 9
      U2 = -6

      S3 = U1 + U2 + U3
      9 = a -6 + ar2
      15 = a + ar2
      15 = a (1+r2)

      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      9 = a (1-r3)/(1-r)

      (1-r)3 = (1-2r+r2) (1-r)
      (1-r)3 = 1 – r – 2r + 2r2 + r2 – r3 
      (1-r)3 = 1 -3r + 3r2 – r3
      1 – r3 = (1-r)3 – 3r2 – 3r
      1 – r3 = (1-r)3 – 3r (1-r)
      1 – r3 = (1-r) ((1-r)2 – 3r)
      1 – r3 = (1-r) (1 – 5r + r2)

      9 = a (1-r3)/(1-r)
      9 = a (1-r) (1 – 5r + r2) / (1-r)
      9 = a (1 – 5r + r2)
      a = 9/(1 – 5r + r2)

      15 = a (1+r2)
      15 = 9/(1 – 5r + r2)  (1+r2)
      5 (1 – 5r + r2) = 3 (1+r2)
      5 – 25r + 5r2 = 3 + 3r2

      sampai sini sudah bingun kak.. tapi kalau pakai perkiraan barisan geometri suku tersebut adalah
      a = 3
      r = -2

      jadi barisannya adalah
      3, -6, 12, dst

      S3 = 3 – 6 + 12 = 9

  8. alfi says:

    Ka minta bantuannya dong aku sudah coba berkali kali tapi tidak ketmu hasilnya
    Soal : jika u.v dan w membentuk barisan geometri hubungan yang benar
    Mohon batuanya ka!!

  9. adhe says:

    ka minta batuanya ya.
    Suatu deret geometri mempunyai suku ke 2= 8 suku ke 5= 64 tentukan jumlah sepuluh suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri

    • rumus hitung says:

      kak adhe dicoba dulu ya pakai cara di atas, nanti kalau bingung kita bantu lagi…

    • nabilah syahirah azhari says:

      Kak mohon bantuannya ya… jika diantara bilangan 5 dan 320 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan itu membentuk barisan geometri. Hirunglah jumlah semua bilangan itu. makasih kak

      • rumus hitung says:

        karena disipkan lima bilangan jadi total jumlah bilangan
        jadinya adalah 7 bilangan

        U1 = a = 5
        U7 = a r6
        320 = 5 r6
        r6 = 64
        r = 2

        semua bilangannya adalah
        5, 10, 20, 40, 80, 160, 320
        jika dijumlah totalnya = 635  

        • novita says:

          Kak tolong bantuin dong..antara bilangan 3 dan 6.561 disisipkan 6 bilangan sehingga terbentuk suatu barisan geometri. Suku ke 3 barisan tersebut adalah

          • rumus hitung says:

            3 dan 6.561 —> disisiipkan 6 suku –> total 8 suku

            U1 = a = 3
            U8 = a r7 = 6561
            U8/U1 = 6561/3
            ar7 / a  = 2187
            r7 = 2187
            r = 3

            suku ke tiga
            = ar2 = 3. 32 = 27

            kalau ada PR silahkan ditanyakan lagi ke forum kami di pr-sekolah.com ya kak

  10. putri says:

    Ka minta bantuanya ya
    Suatu barisan geometri dik: suku ke 2 = 6 suku ke 5= 3/4 tentukan rasio dan suku pertamanya

    • rumus hitung says:

      U2 = ar
      6 = ar

      U5 = ar4
      3/4 = ar4

      kita bagi saja kak U5 dengan U2

      ar4/ar = 3/4 : 6
      r3 = 3/24 = 1/8
      r = 1/2

      ar = 6
      a(1/2) = 6
      a = 12

      jadi ketemu a = 12 dan r = 1/2
      semoga bermanfaat kak, sukses buat sekolahnya..

  11. eliss says:

    kak mau tanya

    tentukan selisih suku ke 25 dan suku ke 23 dari bilangan berikut:
    a. 10(pangkat -5), 2(pangkat 3), 25(pangkat 3),1, 1/2,1/3,1/4,1/5,..
    b. Un=n!/2(pangkat n), n€N

    tolong di bantu ya kak! saya udah coba tapi gabisa

    • Bella Heni says:

      Mau tanya?
      sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelum pemantulan. tentukan panjang lintasan bola?

      • rumus hitung says:

        itu pakai deret geometri tak hingga kk bella
        rumusnya
        S~ = a/1-r = 1/(1-2/3) = 1/(1/3) = 3 meter
        semoga bermanfaat kak

    • rumus hitung says:

      kalau yang ya kami belum ketemu kak jawabannya

      kalau yang b
      U25 = 25!/225 = 462.270.082.334.607.000
      U23 = 23!/223 = 3.081.800.548.897.380

      selisihnya adalah = 459.188.281.785.710.000

  12. khasan fauzy says:

    Diketahui barisan aritmatika 5,8,11,14,17.. rumus suku ke-n dari barisan trsebut adalah..

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Geometri dan Deret Geometri