Barisan Geometri dan Deret Geometri

Tuesday, September 3rd 2013. | rumus matematika
advertisement

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U1, U2, U3, …, Un-1, Un
Maka
U2/U1 = U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2
U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = arn-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas. :D

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = 1 jam/ 6 menit = 10
Un = arn-1
U10 = 2.210-1 = 210 = 1024 buah amoeba.

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

  Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn    (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arn
Sn (1-r) = a (1-rn)
Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan  dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

CodeCogsEqn(8)

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

rumus suku tengah deret geometri

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret rasio (r) rumus
divergen r ≥ 1 atau r ≤ 1 s = ∞
konvergen -1< r < 1 s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2

68 Responses to “Barisan Geometri dan Deret Geometri”

  1. Fitri alcantara says:

    Maaf mau nanya kalau ada soal yang nanyain ‘apakah menentukan suatubarisan geometri cukup dengan menentukan rasio dua suku berurutan?’ itu gimana?

    • rumus hitung says:

      tidak bisa mb… jangan cuma 2 suku berurutan, 3 atau 4 suku berurutan untuk memastikan deret tersebut benar2 deret geometri…

  2. hendra says:

    kak, ane ad tgas ni,
    cra ngerjainnya cemana yah?
    Dik, S2=6 S4=30,
    Hitunglah U10?
    Pusink ane kak,
    mhn bantuannya,

    • rumus hitung says:

      kita coba anggap itu sebagai barisa aritmatika dulu ya…
      S2 = u1 + u2 = a + a + b = 2a + b = 6 ..
      (persamaan 1)
      S4 = 1/2 . 4 (2a+3b) = 4a + 6b = 30…
      (persamaan 2)
      ingat rumus Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

      kita eliminasikan persxamaan 1 dan persamaan 2
      2a + b = 6
      4a + 6b = 30

      4a + 2b = 12
      4a + 6b = 30
      ———————- -
      – 4b = – 18
      b = 4,5

      2a + b = 6
      2a + 4,5 = 6
      2a = 1,5
      a = 0,75
      U10 = a + 9 b = 0,75 + 9 (4,5) = 0,75 + 40,5 =
      41,25
      mohon mmasukan sobat yang lain jika ada yang tidak pas…

      • Hendra says:

        kak, itukan pke rumus deret aritmatika,
        soal ane pke rumus deret geometri,
        ada cara yg lain kak? yang menggunakan rumus deret geometri?
        mohon pencerahaanya

        • rumus hitung says:

          oh ya maaf kak hendra tak kira deret aritmatika.. untuk geometri jawabannya sebagai berikut
          S2=6 S4=30,
          Hitunglah U10?
          rumus Sn = a (1-rn)/1-r
          kita bagi S4 dengan S2

          S4/S2 = a (1-r4)/
          (1-r) dibagi a (1-r2) / (1-r) –> kita
          coret a dan (1-r) didapat
          S4/S2= (1-r4)/ (1-r2)
          –> ingat aturan a2-b2
          = (a+b) (a-b)
          S4/S2= (1+r2(1-r2)(1-r2)
          S4/S2= (1+r2)
          30/6 = (1+r2)
          5 = 1+r2
          4 = r2
          r =2

          setelah ketemu r kita cari a, kita masukkan ke salah satu persamaan
          S2=  a (1-22)/1-2
          S2=  a (-3)/-1
          6 = a .3
          a = 2..
          jadi nilai
          r = 2
          a = 2

          U10 = arn-1 = 2.29=
          1024
          jangan lupa ya follow @rumushitung dan like fanpage kita.. semoga bermanfaat.

  3. Hendra says:

    wew, PF jawabannya kak,
    thx yah, ngomong” mau ngelike dimana?
    Kgk keliatan , sori g bisa follow, g main twit kak

    • rumus hitung says:

      PF itu apa ya kak hendra? di sidebar blog mas.. ada box like.. monggo kalau berkenan… terima kasih yak..

  4. Hendra says:

    Kak, monggo dibantu sekali lg, :D
    Uda ane like nih fage kok,

    1. Dalam Barisan Geometri diketahui U1+u6=244 dan U3.U4=243. Tentukan r!

    2. Suatu jenis mobil mengalami depresiasi (oenurunan harga jual) sebesar 15% pada setiap akhit tahun. Jika harga mobul baru adalah Rp150jt, Berapakah harga jual mobil pada akhit tahun ketiga?

    3.Rizky menabung uangnya sebesar Rp.5jt di bank. Bunga bank yg diterima nasabah adalah 5% pertahun. Berapakah
    A.Pada thun keberapa tabungan rizki melebihi Rp7,5jt (asumsi tanpa pengambilan dan pembayaran)
    B.Total tabungan Rizki selaama 8thun tanapa pengambian,

    kak, mohon bantuan sekali lg buat 3 soal diatas, :D

  5. Hendra says:

    ok kak, nanti ane sebar ke temen”

  6. Hendra says:

    PF= Perfect manyos dah

  7. Hendra says:

    Kak, monggo dibantu sekali lg, :D
    Uda ane like nih fage kok,

    1. Dalam Barisan Geometri diketahui U1+u6=244 dan U3.U4=243. Tentukan r!

    2. Suatu jenis mobil mengalami depresiasi (oenurunan harga jual) sebesar 15% pada setiap akhit tahun. Jika harga mobul baru adalah Rp150jt, Berapakah harga jual mobil pada akhit tahun ketiga?

    3.Rizky menabung uangnya sebesar Rp.5jt di bank. Bunga bank yg diterima nasabah adalah 5% pertahun. Berapakah
    A.Pada thun keberapa tabungan rizki melebihi Rp7,5jt (asumsi tanpa pengambilan dan pembayaran)
    B.Total tabungan Rizki selaama 8thun tanapa pengambian,

  8. Hendra says:

    up up up, dibantu dong, :D

  9. gaby says:

    Saya mau tanya dong,rumusnya jumlah suku dari barisan geometri apa ya? Atau rumusnya sama kyk yg deret geometri.trims

  10. a.sholih says:

    Bantu dong kak selesaikan soal ini a*b=ab+b+c dan 3*5=2*x maka nilai X+3 =……
    mohon deh share gimana jawabnya
    thanks

    • rumus hitung says:

      a*b=ab+b+c dan 3*5=2*x maka nilai X+3 =……
      3*5=2*x
      (3.5)+5+c = (2x) + x + c (c kita coret)
      20 = 3x
      x = 20/3

      x + 3 = 20/3 + 3 = 29/3

  11. Enrico Akbar says:

    diketahui pola ke-1=2, pola ke-2=5, pola ke-3=9, pola ke-4=14.banyak pola ke-17=??
    bisakah dijawab sekarang? ini penting!
    Trimakasih

    • rumus hitung says:

      diketahui pola ke-1=2, pola ke-2=5, pola ke-3=9, pola ke-4=14.banyak
      pola ke-17=??
      n1 = 2
      n2 = 5 –> n1 + 3
      n3 = 9 –> n1 + 3 + 4
      n4 = 14 –> n1 + 3 + 4 + 5
      jadi polanya itu suku ke n = n + [deret aritmatika dengan a= 2 beda 1,
      sebanyak (n-1) buah]
      silahkan baca deret
      aritmatika

      jadi n17 = 2 +  deret aritmatika dengan a= 2 beda 1, sebanyak
      16 buah,

      = 2 +[1/2 n (2a+(n-1)b)]
      = 2 +[1/2 16 (2+(15)1)]
      = 2 + [8 (17)]
      = 2 + 136 = 138

  12. khairil says:

    ada soal seperti ini

    -2^2012 – (- 2^2011 – 2^2010 – … – 2^3 – 2^2 – 2^1 – 1)
    ini sebenarnya yang jadi pembanding itu pangkatnya n-1 atau Un = n-1 ? aduh bingung saya

  13. Bahlul says:

    Di ktahui barisan geometri 16,8,4,2…tentukan
    Rumus suku ke-n barisan tersebut…

    Klo anda bsa, tlong ya

  14. Stupid says:

    Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan geometri
    n-1
    Un=4
    …..?

  15. nadien says:

    Min kalo ada soal yg seperti ini gimana caranya ?
    ” seutas tali dibagi mnjadi 4 bagian dgn pnjang membentuk barisan geometri. Jika tali terpendek 16 dan tepanjang 54 mka panjang tali mula2 ?

    • rumus hitung says:

      suku pertama (tali paling pendek = a = 16
      suku ke 4 = a r3 = 54
      kita bagi ketemu
      r3 = 54/16
      r3 = 3,75
      r = 1,5
      Kita cari nilai  a
      a r3 = 54
      a (3/2)3 = 54
      a (9/8) = 54
      a = 54 x 8/9 = 40
      jumlah tali mula-mula = S4
      Sn
      = a  (1-r
      n)/
      (1-r)
      S4
      = 40  (1-(3/2)
      n)/
      (1-[3/2])

      S4
      = 40  (1-(3/2)
      4)/
      (1-[3/2])

      karena jumlah sukunya sedikit lebih mudah langsung = 40 + 60 + 90 + 135
      = 325…

  16. Wheny says:

    Kak kalau soalnya tentukan suku ke 11 dari barisan geometri berikut -2,-4, -8 ,16, -32 , -46…
    Caranya bagaimana kak

  17. Nur Anisa says:

    kak bantu ya ..
    jumlah dan rasio dari deret geometri tak hingga adlaj 75 dan 2/3 .suku pertama deret ta hingga tersebut adalah .
    besuk di kumpulin kak bntu ya:'(:'(:'(

    • rumus hitung says:

      jumlah dan rasio dari deret geometri tak hingga adlaj 75 dan 2/3
      Jumlah suku dalam deret geometri tak hingga
      S = a/1-r
      75 = a/(1-2/3)
      75 = a/(1/3)
      75 = 3a
      a = 75/3 = 25

  18. Dian Siti J says:

    Tolongin dong kak .. ini tugas buat besok .. :'(
    Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari deret berikut ini
    8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + ….

    • rumus hitung says:

      a = 8
      r = 1/2
      merupakan deret geometri

      Sn = a
       (1-rn)/ (1-r)
      Sn =
      8  (1-½8)/ (1-½)

      Sn
      = 8  (1-1/256)/ (½)

      Sn
      = (8-1/32)
       x2
      Sn
      = (16-1/16)

      Sn
      = 255/16 =

      15 15/16

  19. Muchlish says:

    Tolong dong, aku gak ngerti maksud soalnya.. gimana sih cara pengerjaannya? :(
    Carilah jumlah tak hingga dari deret geometri berikut ini:
    a.0.583333…
    b.0.266666…

    • rumus hitung says:

      maaf kak muchlish soalnya bisa diperjelas.. kalau soal deret minimal harus ada 3 buah suku anggota deret tersebut…

  20. AlvinChaidrata says:

    Kak tolong saya dong, kalau ditanya “Rumus suku ke-n dari barisan : 1,6,15,28″ dan “Suku ke-15 dari barisan: 1,3,6,10,15″ itu gmna ya jawabnya?
    Tolong dibantu ya kak aku udh stuck sama pertanyaan ini hampir seminggu

    • rumus hitung says:

      kakak alvin itu adalah deret aritmatika tapi bertingkat.. saya bantu yang pertama nanti bisa jadi acuan buat mengerjakan yang kedua yak ini pakai rumus deret aritmatika bertingkat 2.. lihat gambar di bawah ini

      Gambar1

      cara di atas bisa kakak pakai untuk mencari jawaban soal kedua… semoga bermanfaat

      • AlvinChaidrata says:

        Wahhhh terima kasihhhh yg sangatt banyak buat kka pintar ya sekali lagi trima kasih buat rumusnya, akhirnya saya mengerti

  21. alan says:

    tolong bantuin kerjain tugaas ane yang in..

    1. s=a+(n-1)

    2. s=a(1-r pangkat n) / 1_r

    r pangkat n =o
    r kurang dari 1 tolong…

  22. sri wahyuni says:

    min aku mau nanya! sebuah barisan geometri suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut 8 dan 64. Rasio barisan tersebut adalah
    A.1
    B.2
    C.3
    D.4
    E.5

    • rumus hitung says:

      jiaaaah ayo kakak itu gampang kok… tinggal dibagi aja…

      ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut 8 dan 64
      U3 = ar2
      U6 = ar5
      U6/U3 = ar5/ar2

      64/8 = r3
      r3 = 8
      r = 2

  23. erick says:

    Apakah ada barisan aritmetika yg sekaligus barisan geometri?

  24. Khiddi says:

    kak bantuin donk suatu barisan geometri diketahui berturut-turut U2 dan U5 adalah 2 dan 16/27. Besarnya U7 adalah !!

    • rumus hitung says:

      siap kak… hehehehe
      U2 = ar = 2
      U5 = ar4 = 16/27
      kita bagi aja kak
      ar4/ar = 16/27 dibagi 2
      r3 = 16/54 = 8/27
      r = 2/3

      U2 = ar = a(2/3) = 2 –>  a = 3
      maka suku ke 7
      U7 = ar6
      U7 = 3. (2/3)6= 64/243

  25. anisa amalia says:

    min aku mau minta tolong dong, tolong di perjelas contoh soal dari barisan dan deret geomteri. soalnya aku lagi PKL, jadi ketinggalan pelajaran dan butuh banget penjelasan yg mudah dimengerti.

    thx before

    • rumus hitung says:

      contoh soal yang mana kak anisa.. kalau kakak punya contoh soal yang lain nanti kita bantu jelasinnya..

  26. risansoepiri says:

    Numpang tanya ini deret aritmetika atau geometri ?
    1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +… + 1/n(n+1)

    • rumus hitung says:

      itu bukanny deret tersendiri ya kak.. soalnya punya beda tiap suku dan juga rasio berbeda-beda.. apa masih mungkin aritmatika atau geometri bertingkat ya..

  27. ananaca says:

    kak,, minta tlong bantuannya ya,,,,
    teorema: “setiap barisan konvergen adalah terbatas”
    -bner apa gak kak kalo | sn – L | <ε ??
    cara pembuktiannya teorema itu bagaimana ya kak???

  28. geervin says:

    Brother bagaimana cari a ( rumus ) ?

    • rumus hitung says:

      a bisa dicari dengan membagi suku dalam barisan geomteri dengan suku sebelumnya

      a = Un/Un-1

      tapi dalam aplikasi soal bisa bbermacam-macam kak.. kalau ngga di sampaikan saja soalnya seperti apa..

  29. bima says:

    Kk mau tanya nih.. tiga suku berikutnya dari bilangan 5.6.9.14 adalah? Itu saya bingung pakai rumus yg mana yak? Mohon bantuannya.

    • rumus hitung says:

      itu barisan aritmatika bertingkat kak.. selengkapnya bisa di baca di barisan aritmatika bertingkat

      atau cara mudahnya

      5…… 6……9 …..14……..21……..30………..41
      ….1…….3……5……..7………9……….11……
      ……..2…….2……2………2………2……………

      ketemunya 21, 30, dan 41 coba di logika sederhana saja kak…

  30. Apri says:

    4. Sebuah peralatan perkebunan yang dibeli hari ini seharga Rp 80.000.000,- akan mengalami depresiasi secara linier sampai pada nilai sisa seharga Rp 2.000.000,- setelah 20 tahun. Tuliskan rumus untuk V setelah n tahun.

    • rumus hitung says:

      nilai yang disusutkan selama 20 tahun = 68.000.000
      penyusutan pertahun = 68.000.000 / 20= 3.400.000
      rumus nilai buku setelah n tahun adalah
      V = 80.000.000 – n (3.400.000)

  31. Apri says:

    tolong bantuanya

  32. agum says:

    Kak, bantu dong.. suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 33/2 dan jumlah 3suku pertama adalah 143/9. Suku ke empat adalah..

    • rumus hitung says:

      geometri tak hingga mempunyai jumlah 33/2
      a / 1-r = 33/2

      S3 = 143/9
      S3 =  a (1-r3)/1-r
      143/9 = (1-r3). 33/2
      1-r3 = 143/9 x 2/33
      1-r3 = 286/297
      r3 = 1 – (286/297)
      r3 = 11/297
      r3 = 1/27
      r = 1/3
      Setalah ketemu rasio deretnya kita cari suku pertama (a)

      a/ 1-r = 33/2
      a/ [1-(1/3)] = 33/2
      a . 3/2 = 33/2
      a = 33/2 x 2/3 = 11

      semoga bermanfaat maaf balasnya moloor…

  33. putri says:

    maaf, saya mau bertanya, bagaimana jika pertanyaan seperti ini. terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir 27. tentukan Sn dan Dn? mohon bantuannya.

    • rumus hitung says:

      misal kak putri
      jika ada 2 suku maka –> 1 beda
      jika ada 3 suku maka –> 2 beda
      jika ada 60 suku maka –> 59 beda

      b = (27-9)/59 = 18/59

      Un = a + (n-1) b
      Un = 9 + (n-1) 18/59

      Sn = n/2 x (a + Un)
      Sn = 30 x (9+60) = 30 x 540 = 16.200

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Geometri dan Deret Geometri