Barisan Geometri dan Deret Geometri

Tuesday, September 3rd 2013. | rumus matematika

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U1, U2, U3, …, Un-1, Un
Maka
U2/U1 = U3/U2=U4/U3 = … Un/Un-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U3/U2 = r maka U3 = U2. r = a.r.r = ar2
U4/U3 = r maka U4 = U3. r = a.r2.r = ar3 sejalan dengan
Un/Un-1 = r maka Un = Un-1. r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = arn-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas. :D

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = 1 jam/ 6 menit = 10
Un = arn-1
U10 = 2.210-1 = 210 = 1024 buah amoeba.

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

  Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn    (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arn
Sn (1-r) = a (1-rn)
Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan  dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

CodeCogsEqn(8)

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

rumus suku tengah deret geometri

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deretrasio (r)rumus
divergenr ≥ 1 atau r ≤ 1s = ∞
konvergen-1< r < 1s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2



243 Responses to “Barisan Geometri dan Deret Geometri”

  1. dhea says:

    mau tanya dalam kegitan jalan sehat yang di ikuti 300 peserta , panitia menyediakan 10 hadiah. Peluang setiap peserta mendapatkan hadiah adalah?

  2. ade says:

    kak tolong di bntu . Diketahui suku pertama (1) = a = 3 , suku ke 5 = 19 , suku ke n = 31

    a) Tentukan beda (b)
    b) Tentukan n
    c) Tentukan suku ke-20
    d) Tentukan n jika suku ke n = 51

  3. […] belajar kita tentang transformasi geometri, semoga bermanfaat. jangan lupa baca juga materi tentang rumus cepat deret geometri. […]

  4. haqi says:

    1,5,10,16,23,…
    berapa baris deret tsb
    pake rumus apanya kk

  5. fera says:

    kak maaf saya mau tanya cara menyelesaikan soal ini gimana.

    suku kelima barisan geometri adalah 81 dan suku ketujuh adalah 729.suku kedua dari barisan tersebut adalah
    a.⅓
    b.1
    c.√3
    d.3
    e.3√3

  6. Rizaty says:

    Kk tolong donk bantu selesaikan tugas ku..pucing bgt nih..

    Suku pertama suatu barisan ge0metrik=5, sdangkan suku ke 3 nya=45. Selain itu d ketahui juga bhwa rasio barisan ge0metrik tsb p0sitif.
    1.tentukan rasi0 dr barisan ge0metrik tsb.
    2.tentukan rumus umum suku ke n.
    3.suku ke berapakah pada barisan ge0metrik itu yg nilai nya sama dgn 1215.

    • rumus hitung says:

      diketahui a = 5 u3 = 45
      1. rasio
      u3 = ar2
      45 = 3r2
      r2 = 9
      r = 3

      2. Rumus Suku ke n
      Un = 5(3)n-1

  7. Silyer says:

    Suku pertama suatu barisan ge0metrik=5, sdangkan suku ke 3 nya=45. Selain itu d ketahui juga bhwa rasio barisan ge0metrik tsb p0sitif.
    1.tentukan rasi0 dr barisan ge0metrik tsb.
    2.tentukan rumus umum suku ke n.
    3.suku ke berapakah pada barisan ge0metrik itu yg nilai nya sama dgn 1215.

    • rumus hitung says:

      ayoooo kak silyer dicoba dulu ya dengan cara di atas… nanti a = 5 dan rasionya ketemu 3 terus tinggal dilanjutkan :3

  8. zahra says:

    kalau misalnya…
    barisan U3 =12 dan U6=96 tentukan U8?

    • rumus hitung says:

      silahkan dicoba dulu ya kak menggunakan rumus deret dan barisan geometri di atas.. kalau sudah mentok ngga bisa nanti kita bantu dengan senang hati.. :D

  9. jiwen says:

    Kak mau tanya dong aku ada soal mohon bantuannya kak…..

    1. suku awal sebuah deret geometri adalh 6 dan rasio deret tersebut adalah 3 maka suku ke 4 deret tersebut…..

    2. Sebuah deret geometri 15,45,135,…..maka suku ke 6 deret tersebut adalah……

    3. Sebuah deret geometri 13,26,52,104….. maka jumlah 6 suku pertamanya adalah……..

    4. Jumlah kebutuhan daging sapi disuatu desa pada tahun 2010 sebesar 2000 kg dan selalu meningkat 2 kali lipat dari tahun sebelumnya total kebutuhan daging sapi penduduk desa tersebut pada tahun 2010 sampai dengan 2015 adalah…..

    kak mohon secepatnya yah

    • rumus hitung says:

      Kak jiwen ayoooo silahkan dicoba dulu dengan cara di atas.. pasti bisa.. :D itu soalnya sederhana kok.. nanti kalau mentok silahkan ditanyakan lagi..

  10. Dina says:

    malem kak. kak saya mau tanya,bagaimana untuk mengerjakan soal ini:

    tentukan nilai n jika

    2+4+8+16+32+…+n=510

    makasih. mohon bantuannya dan mohon dijawab secepatnya yaa..

    • rumus hitung says:

      itu deret geometri dengan
      suku pertama = a = 2
      rasio = 2
      Yang ditanya n = …..?

      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      a  (1-rn)/(1-r) = 510
      2 (1-2n) / (1-2) = 510
      (1-2n) / -1 = 255
      1-2n = -255
      -2n = -256
      2n = 256
      n = 8

  11. Dina says:

    sebelumnya maaf ganggu. saya mau bertanya bagaimana caranya untuk menyelesaikan soal ini:

    tentukan nilai n jika:

    2+4+8+16+32+…..+n=510

    sebelumnya terimakasih.

    • rumus hitung says:

      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      a  (1-rn)/(1-r) = 510
      2 (1-2n) / (1-2) = 510
      (1-2n) / -1 = 255
      1-2n = -255
      -2n = -256
      2n = 256
      n = 8

  12. budi says:

    bener gak jawabanku?.
    soal : suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 15. apabila dik rasio 3/5, maka U1?

    jawab:
    Sn=a/1-r
    15=a/(1-3/5)
    15=a/(2/5)
    15=2,5a
    a=6
    bener gak?
    klo salah mohon pembenarannya kak :)

  13. Windi siti says:

    Kak ma’af aku mau nanya nih

    jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 56 dan suku pertamanya adalah 40 tentukan rasio deret tersebut.
    Gimana caranya udah mentok banget kak….

  14. rara alda says:

    sore kak. mau nannya soal yg ini suku ke-n suatu barisan dirumuskan Un=3^n-1.
    a. tentukanlah rumus jumlah suku ke-n dan jumlah suku ke-2n nya . tlong gmna caranya kak. aku udh nyoba ga bsa trus. tmn skls jga pada bingung.. trmksh. mhon d jawab skrg ya kak

  15. yuni says:

    kak bantuin
    sebuah pita dipotong 6 bagian panjang pita membentuk deret geometri panjang potongan pita terpendek 4 cm sedangkan pita terpanjang 972 cm berapa panjang pita mula mula

    • rumus hitung says:

      a = 4 cm
      n = 6
      U6 = 972
      ditanya Sn (panjang pita awal) = …?
      Un = arn-1
      U6 = 4 (r)5
      972 = 4 r5
      r5 = 243
      r = 3

      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      S6 = 4 (1-36) /(1-3)
      S6 = 4. (-728)/ (-2)
      S6 = 2 x 728 
      S6 = 1456

  16. yuni says:

    kak ini gimana
    sebuah pita dipotong 6 bagian panjang pita membentuk deret geometri panjang potongan pita terpendek 4 cm sedangkan pita terpanjang 972 cm berapa panjang pita mula mula

    • rumus hitung says:

      a = 4 cm
      n = 6
      U6 = 972
      ditanya Sn (panjang pita awal) = …?
      Un = arn-1
      U6 = 4 (r)5
      972 = 4 r5
      r5 = 243
      r = 3

      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      S6 = 4 (1-36) /(1-3)
      S6 = 4. (-728)/ (-2)
      S6 = 2 x 728 
      S6 = 1456

  17. Iksan says:

    kak tolong bantuin dong,
    soalnya kyk gini :
    Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret
    4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …. !

    saya masih tidak mengerti kalau rasionya pecahan.T_T

    • rumus hitung says:

      itu sama saja kak… rasionya = 1/4,
      Sn = a  (1-rn)/ (1-r)
      S10 = 4 (1- (1/4)10) / (1- (1/4))
      S10 = 4 ( 1-1/1048576) / 3/4
      S10 = 4 (0,999999046325683/0,75)
      S10 = 4 (1,33333206176757) = 5,33332824707031

  18. cindy fauziah says:

    Kak bantuin dong untuk soal UAS bsok.
    Soalnya kayak gni :
    1. Jumlah n suku pertama deret geometri ditentukan oleh Sn: 9-3 pangkat 2-n . Rasio deret tersebut adalah..
    2. Pada deret geometri diketahui jumlah suku ke 1 dan suku ke 2 adalah 6 dan jumlah suku ke 4 dan suku ke 5 adalah 162. Suku pertama deret tersebut adalah..

  19. laily says:

    mau tanya dong penyelesaian soal tentang baris dan deret
    “dari suatu barisan bilangan diketahui suku pertamanya 25 dan suku berikutnya lebih dari suku sebelumnya.jika suku-suku itu habis dibagi 5,pada suku keberapakah 2010?”
    terima kasih……

    • rumus hitung says:

      suku pertama, a = 25
      Suku suku tersebut habis dibagi lima –> b = 5 (asumsi beda paling kecil)
      Un = 2010
      Un = a + (n-1) b
      2010 = 25 + (n-1) 5
      2010 = 25 + 5n -5
      2010 = 20 + 5n
      5n = 2010 – 20
      5n = 1990
      n = 1990/5 = 398

  20. Annisa says:

    kaka mau nanya. mohoon jawabannya ya ka
    1. Hitunglah jumlah n suku pertama dari masing-masing deret
    geometri berikut!
    a.-6+(-3)+(1,5)+….,+n=8
    b. 4+12+36+…..,+n=9

    2. diketahui suatu deret geometri yang mempunyai suku
    pertama 2, rasio -2,dan jumlahnya Sn= -4. Tentukan
    banyak suku dari deret geometri tersebut!

    • rumus hitung says:

      kaka yang nomor 1a. rasionnya kok ngga konsisten ya.. 1/2 atau -1/2
      Soalnya juga aneh kok sudah ada hasilnya… kalau diminta rumus Sn tinggal pakai cara di atas..

  21. Dwi Lestari says:

    min bantu dund ..
    soal; barisan geometri di ketahui suku ke -9 adalah 128, suku ke -4 adalah 4. suku ke -16 adalah….

    • rumus hitung says:

      ke -9 adalah 128, suku ke -4 adalah 4

      U9 = ar8 = 128
      U4 = ar3 = 4
      ar8 / ar3 = 128/4
      r5 = 32
      r = 2

      ar3 = 4
      a. 23 = 4
      a.8 = 4
      a = 1/2

      U16 = ar15 = 1/2 . 215= 16384

      semoga bermanfaat

  22. thari says:

    kk tolong bantu ak yaa, ak bingung ngerjakan soal ini udh corat coret bku msih jga gk dpat. tlong d bantu ya kk??
    in soalnya :
    1.banyak suku dari barisan geometri 4/9,4/3,4, . . . .,972 adalah…
    2.dik:suku prtma dan suku ktiga suatu dret geometri tak hingga brturut2 adlah 8 dan 32/9 . jumlah smpai dngn suku tak hingga dret trsbut adlah..

    tlong d bantu ya kk plis bsok mw d kumpul :(

    • rumus hitung says:

      4/9,4/3,4, . . . .,972

      a = 4/9
      r = 3

      arn-1 = 972
      4/9 . 3n-1 = 972
      3n-1 = 972 x 9/4
      3n-1 = 243 x 9
      3n-1 = 35 x 32
      3n-1 = 37
      n-1 = 7
      n = 8

      jadi jumlah suku pada barisan tersebut ada 8 kak…

      nomor 2 caranya sama sepeti di atas kak.. :D

Leave a Reply

Artikel Tips Berhitung Terkait Barisan Geometri dan Deret Geometri