Hai guys, bagaimana kabarnya? Tetap semangat belajar yaa… Nah, pada kesempatan ini, rumushitung ingin mengajak kalian untuk belajar membahas tentang rumus turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Disini kita aka membahas rumus kedua fungsi tersebut serta menganalisis cara penyelesaiannya melalui contoh soal. Yuk, kita bahas bersama-sama.
Pengertian Turunan
Apa yang dimaksud dengan turunan? Turunan adalah suatu pengukuran dari hasil fungsi yang mengalami perubahan sesuai dengan nilai atau variabel yang dimasukkan.Turunan juga disebut diferensial, dan dalam proses menentukan turunan fungsi disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan dinamakan dengan integral, sebab turunan dan integral memiliki hubungan terbalik. Kedua fungsi ini merupakan fungsi yang penting yang ada di dalam kalkulus, bisa kalian lihat list di bawah ini untuk simbol dalam menggunakan turunan ataupun integral.
- y’ (turunan pertama)
- y” (turunan kedua)
- Dan seterusnya.
Turunan Fungsi Aljabar
Setelah kalian memahami pengertian dari turunan, untuk penjelasan mengenai turunan fungsi aljabar tidak jauh beda. Untuk lebih memahami lagi, alangkah baiknya kalian pahami beberapa rumus dasar dari turunan, sebab rumus dasar ini dapat dijadikan penyelesaian soal-soal turunan fungsi aljabar, begitupun juga untuk turunan fungsi trigonometri.
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Kalian harus paham dulu rumus dasar turunan agar kalian dapat menyelesaikan permasalahan soal turunan fungsi aljabar. Di bawah ini adalah beberapa rumus dasar turunan atau aturan turunan dalam fungsi aljabar sebagai berikut :
Aturan konstanta
Jika f(x) = k, maka f'(x) = 0 dengan k adalah konstanta. Sebagai contoh, f(x) = 6, maka turunan f(x) adalah f'(x) = 0. Setiap angka tanpa variabel (konstanta), turunannya akan menghasilkan 0 (nol).
Aturan variabel
Jika f(x) = x, maka f'(x) = 1 dan jika f(x) = kx, maka f'(x) = k dengan k adalah konstanta. Contoh, f(x) = 7x, menghasilkan f'(x) = 7. Setiap variabel yang berpangkat 1, akan menghasilkan turunan 1.
Aturan pangkat
Jika f(x) = xn, maka f'(x) = n.xn-1. Untuk konstanta tetap, sebab masih ada pasangan variabel. Contohnya,
f(x) = 5x4, menghasilkan f'(x) = 5.4.x4-1 = 20x3
Aturan penjumlahan
Jika f(x) = U + V, maka f'(x) = U’ + V’. Sebagai contoh : f(x) = 4x2 + 2x, turunannya adalah f'(x) = 8x + 2
Aturan pengurangan
Jika f(x) = U – V, maka f'(x) = U’ – V’. Untuk contoh, f(x) = 24x2 – 5x2, turunannya f'(x) = 48x – 10x = 38x
Aturan turunan perkalian
Jika f(x) = U × V, maka f'(x) = U’ V + V’ U. Sebagai contoh, f(x) = 3x4 × 2x, untuk U = 3x4 dan V = 2x, maka U’ = 12x3 dan V’ = 2. Jadi, turunannya adalah :
f'(x) = 12x3 (2x) + 2 (3x4) = 24x4 + 6x4 = 30x4
Aturan pembagian
Jika f(x) = U/V, maka f'(x) = (U’ V – V’ U)/V2. Contoh : f(x) = 2x2 / x, dengan U = 2x2 dan V = x, maka U’ = 4x dan V’ = 1. Jadi, turunannya adalah :
f'(x) = [ 4x (x) – 1 (2x2) ] / x2 = (4x2 – 2x2) / x2
= 2x2 / x2 = 2
Aturan turunan dari fungsi
Jika f(x) = Un, maka f'(x) = n.Un-1 . U’. Contoh : f(x) = (3x3 + 8x)2, dengan U = 3x3 + 8x, maka U’ = 9x2 + 8. Jadi, untuk turunannya :
f'(x) = 2.(3x3 + 8x)2-1 . (9x2 + 8)
= 2(3x3 + 8x)(9x2 + 8)
= (6x3 + 16x)(9x2 + 8)
Versi rangkuman agar lebih jelas :
Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk memahami turunan fungsi trigonometri, pelajari dulu rumus dasar turunan khusus dalam fungsi trigonometri. Ingat, ini sangat penting kalian pahami sebab dapat dijadikan sebagai penyelesaian masalah soal dalam turunan trigonometri.
Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Berikut adalah rumus dasar turunan dari fungsi trigonometri, antara lain :
- f(x) = sin x → f'(x) = cos x
- f(x) = cos x → f'(x) = – sin x
- f(x) = tan x → f'(x) = sec2 x
- f(x) = cot x → f'(x) = – csc2 x
- f(x) = sec x → f'(x) = sec x tan x
- f(x) = csc x → f'(x) = – csc x cot x
- f(x) = sin kx → f'(x) = k cos kx
- f(x) = cos kx → f'(x) = – k sin kx
- f(x) = sinn x → f'(x) = n.sinn-1 x . cos x
- f(x) = cosn x → f'(x) = – n.cosn-1 x . sin x
- f(x) = sin U → f'(x) = U’ cos U
- f(x) = cos U → f'(x) = – U’ sin U
Contoh Soal dan Pembahasan
Setelah kalian mempelajari rumus turunan aljabar dan trigonometri, jangan lupa kita harus latihan soal agar lebih menambah pemahaman. Berikut soal-soalnya :
Soal 1 :
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut!
a.) f(x) = x5 + 3x2 – 4
b.) g(y) = 3y × 12y2
c.) f(x) = 6x3 ÷ 6x
Jawaban :
a.) f(x) = x5 + 3x2 – 4
→ f'(x) = 5x5-1 + 3.2.x2-1
→ f'(x) = 5x4 + 6x
b.) g(y) = 3y × 12y2
→ U = 3y dan V = 12y2
→ U’ = 3 dan V’ = 24y
→ f'(x) = U’ V + V’ U
→ f'(x) = 3 (12y2) + 24y (3y)
→ f'(x) = 36y2 + 72y2 = 108y2
c.) f(x) = 6x3 ÷ 6x
→ U = 6x3 dan V = 6x
→ U’ = 18x2 dan V’ = 6
→ f'(x) = ( U’ V – V’ U ) / V2
→ f'(x) = [ 18x2 (6x) – 6(6x3) ] / (6x)2
→ f'(x) = ( 108x3 – 36x3 ) / 36x2
→ f'(x) = 72x3 / 36x2
→ f'(x) = 2x
Soal 2 :
Turunan kedua dari fungsi y = (x + 1)2 (2x – 3) adalah …..
Jawaban :
→ y = (x + 1)2 (2x – 3)
→ U = (x + 1)2 dan V = (2x – 3)
→ U’ = 2(x + 1) dan V’ = 2
→ y’ = 2(x + 1) (2x – 3) + 2 (x + 1)2
→ y’ = 2(2x2 – x – 3) + 2(x2 + 2x + 2)
→ y’ = 4x2 – 2x – 6 + 2x2 + 4x + 4
→ y’ = 6x2 + 2x – 2 (turunan pertama)
→ y” = 6.2.x2-1 + 2
→ y” = 12x + 2 (turunan kedua)
Soal 3 :
Turunan dari y = 3sin 2x + 5cos 3x – sin 2x adalah …..
Jawaban :
→ y = 3sin 2x – 5cos 3x – sin 2x
→ y’ = 3.2.cos 2x – (-5.3.sin 3x) – 2cos 2x
→ y’ = 6cos 2x + 15 sin 3x – 2cos 2x
→ y’ = 15 sin 3x + 4cos 2x
Baca juga : Soal Matematika : 15 Soal Turunan Aljabar dan Trigonometri
Demikian pembahasan kali ini semoga bermanfaat, dapat menambah ilmu, wawasan, dan pengetahuan. Sekian terima kasih.
Leave a Reply